(Pokus o konštruktivistický prístup k známej téme)

mantinelu. Dráha sa uzavrela, spočítame horné a dolné odrazy a pridáme 2 odrazy odkolmých mantinelov. Variantom tohto postupu, ktorý súvisí so „zlomkovou zápletkou“témy, je sledovanie rytmu zlomkov 1/n, 2/n, 3/n z hľadiska výšky gule v týchtomomentoch. Čoskoro sa nahliadne, ktoré menovatele zodpovedajú hornej, dolneja stredovej polohe gule. Postupy pre riešenie tohto jednoduchšieho problému je možnéďalej rozvinúť a použiť v nasledujúcom.• Aj pre zložitejšie dráhy všeobecného typu k/n môžeme začať inventarizácioua tabuľkovaním hodnôt známych dráh. Určitý problém tu prekvapujúco pôsobí kráteniezlomkov. Posúďte sami:1/8 => 10, 2/8 => 6, 3/8 => 14, 4/8 => 4, 5/8 => 18, 6/8 => 10, 7/8 => 22.Poriadny chaos, ktorý ale zmizne pokiaľ sa obmedzíme len na zlomky v základnom tvare:1/8 => 10, 3/8 => 14, 5/8 => 18, 7/8 => 22.Sledovaním podobných tabuliek vieme odhadnúť niektoré vzorčeky. Problematika je aleo stupeň zložitejšia.• Úloha: Nájdite vzorec pre určenie počtu odrazov pre dráhy typu X=1/2 a Y=m/2n. Silnépovahy si môžu zovšeobecniť aj hodnotu X.• Táto úloha nie je triviálna a zaujmete ňou už aj vysokoškoláka alebo „áčkového“olympionika. Okrem rozvinutia vyššie spomenutýchmetód môžete napr. uvažovať o rozklade „vektora“prvého úderu na vodorovnú a kolmú zložku a sledovaťsúvis týchto dvoch hodnôt a z nich plynúceho taktupohybu vo vodorovnom a zvislom smere. Pri jednejz prezentácií témy sa objavil ešte jeden zaujímavýpostup. Ilustrujeme ho na obrázku 5/8 dráhy. Prvý„výstrel“ ide z polohy ½ do polohy 5/8. V ľavom hornomrohu stola sa ale nachádzajú ďalšie rovnobežné dráhy, ktoré by spôsobili rovnaký obehgule. Pri nich by sme mierili z 3/10 do 3/8 alebo z 1/10 do 1/8 mantinelu. Začína saobjavovať určitá zaujímavá algebra dvojíc zlomkov popisujúcich rovnobežné dráhy. Ešteraz a bez krátenia:(5/10 => 10/16) ~ (3/10 => 6/16) ~ (1/10 => 2/16)Poslednú dvojicu považujeme v určitom význame za „minimálnu“, zodpovedá extrémnejpolohe dráhy v ľavom hornom rohu. A načo je to dobré? Okrem samotnej úlohy popisurovnobežných dráh nám „minimálny“ popis prvého úderu umožňuje iný, ľahší postupriešenia mantinelových (a ďalších) problémov.• Úloha: Popíšte „algebru rovnobežných dráh“. Nájdite vzorec pre počet odrazov pomocouhodnôt „minimálnej“ dráhy.Uzavreté dráhy a ich kríženieNastal čas na ďalší krok v abecede biliardu. Netešte sa na viac gulí, stále zostávame priuzavretých dráhach. Teraz si ale budeme všímať, koľkokrát dráha križuje samú seba.Križovanie dráh gúľ pohybujúcich sa po stole je opäť problémom aj skutočného biliardu.Podcenenie tzv. tušov vám často prekazí inak skvelo premyslený úder.Problém je o stupeň ťažší ako počítanie odrazov, je však jeho logickým pokračovaním.Môžeme použiť a rozvíjať postupy (metodické aj matematické) z predchádzajúcich častí.Bojovníci sa majú na čo tešiť:Úloha: Nájdite vzorec pre určenie počtu prekrížení pre dráhy typu X=1/2 a Y=m/2nOstatným možno trochu nekorektne dám malú radu. Môžete si všimnúť, že po nakreslení dráhsú vzniknuté „ornamenty“ zložené z rôzneho počtu základných tvarov – kosoštvorcov.V biliarde sa tento útvar nazýva diamant, a môžete ho ako pomocné značky nájsť na okrajochkvalitnejších stolov. Napríklad vyššie nakreslená trajektória 5/8 pozostáva zo 4 stĺpcov po 5diamantov. Ďalší postup je vcelku jasný. Z popisu rozostavenia diamantov ľahko určíme8