Nowa Era

3. LOGARYTMY
Niech a > 0 i a ≠ 1. Logarytmem log a
c liczby c > 0 przy podstawie a nazywamy
wykładnik b potęgi, do której należy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę c:
b
log c= b⇔ a = c
a
Równoważnie:
log a c
a = c
Dla dowolnych liczb x > 0 , y > 0 oraz r zachodzą wzory:
r
x
loga( x ⋅ y)
= loga x+ loga
y loga
x = r⋅ loga
x loga loga x loga
y
y = −
Wzór na zamianę podstawy logarytmu:
jeżeli a > 0 , a ≠ 1, b > 0 , b ≠ 1 oraz c > 0 , to
loga
c
logb
c =
loga
b
log x oraz lg x oznacza log10
x .
4. SILNIA. WSPÓŁCZYNNIK DWUMIANOWY
Silnią liczby całkowitej dodatniej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych
od 1 do n włącznie:
n! = 1⋅2 ⋅...
⋅ n
Ponadto przyjmujemy umowę, że 0! = 1.
Dla dowolnej liczby całkowitej n ≥ 0 zachodzi związek:
n+ 1! = n! ⋅ n+
1
( ) ( )
_____
* _____
Dla liczb całkowitych n, k spełniających warunki 0 ≤ k ≤ n definiujemy współczynnik
⎛n
⎞
dwumianowy ⎜ ⎟ (symbol Newtona):
⎝k
⎠
⎛n
⎞ n!
⎜ ⎟ =
⎝k ⎠ k! ( n−
k)
!
Zachodzą równości:
⎛n⎞ n( n−1)( n−2 ) ⋅... ⋅( n− k+
1)
⎜ ⎟ =
⎝k
⎠ 1⋅2⋅3 ⋅...
⋅k
⎛n⎞ ⎛ n ⎞
⎛n⎞ ⎜ ⎟=
⎜ ⎟
⎜ ⎟ = 1
⎝k⎠ ⎝n−
k⎠
⎝0⎠
⎛n⎞ ⎜ ⎟ = 1
⎝n⎠
5. WZÓR DWUMIANOWY NEWTONA
Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dla dowolnych liczb a, b mamy:
1 1
( )
n ⎛n⎞ ⎛n⎞ n n − ⎛n⎞ ... n − ⎛ n ⎞ n
a b a a b a k b k ... ab n − ⎛ ⎞
+ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟b
n
⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝k⎠ ⎝n−1⎠ ⎝n⎠
2