Cours Modélisation et simulation des procédés industriels

SYMPHOS 2013
Agadir, 06-10 mai 2013
Cours
Modélisation et simulation des
procédés industriels
Séance 3: Techniques de simulation
Pr. Tijani BOUNAHMIDI
Laboratoire d’Analyse et Synthèse des Procédés Industriels
(LASPI), Ecole Mohammadia d’Ingénieurs, Université Mohammed
V-Agdal, Rabat

Modèle mathématique d’un procédé
en régime permanent
Exemple
Y 42 C 7
C 6
Y 41
Diviseur
X 41
Y 31
S
é
θ
p
3
a
r
C X θ 2
12 C C 3
1 2
3 a
Mélangeur
Réacteur
Y t
21
1 2
e
u
r
C 5
X 11 Y 11 X21 X 31
Y 32
C 4
θ 4
θ 3
4
{Équations du modèle du procédé }= {Équations des modèles des unités}U
{Équations de connexion des unités}U {Équations de spécifications}
2

Équations des unités
Mélangeur : F 1 (X 11 , X 12 ,Y 11 )= 0
Réacteur : F 2 (X 21 , θ 2 ,Y 21 ) = 0
Séparateur: F 3 (X 31 , θ 3 ,Y 31 ,Y 32 ) = 0
Diviseur: F 4 (X 41 , θ 4 ,Y 41 ,Y 42 ) = 0
Équations de connexion
Mélangeur & Réacteur: X 21 - Y 11 = 0
Réacteur & Séparateur: X 31 - Y 21 = 0
Séparateur & Diviseur: X 41 - Y 31 = 0
Mélangeur & Diviseur: X 12 - Y 41 = 0
3

Équations de spécifications
Exemple: variable contrôlé-spécification = 0
Modèle du procédé :
f(x) = 0
Système d’équations algébriques non linéaires
f : fonction vectorielle
x : vecteur des "variables" du procédé
Pour un procédé industriel, ce système d’équations peut
contenir quelques milliers d’équations, voire des dizaines de
milliers d’équations.
le nombre de variables intervenant dans chacune des
équations du système est faible ⇒ Système creux
4

Approche modulaire séquentielle
Dans cette approche, chaque appareil est représenté par
un module qui permet de calculer les courants sortant de
l’appareil à partir des courants entrant et des paramètres.
Y
11
= G
11
(X
11, X
12
)
Y = G (X , θ )
21 21 21 2
Y = G (X , θ )
31 31 31 3
Y = G (X , θ )
32 32 31 3
Y = G (X , θ )
41 41 41 4
Y = G (X , θ )
42 42 42 4
5

Les modules sont appelés séquentiellement en suivant le
sens de circulation des courants réels.
Pour démarrer le calcul, il faut initialiser le courant de
recyclage C 6 (coupé).
X 12 Y 41
Séquence d’appel des modules 1, 2, 3,
4
Il faut itérer jusqu’à ce que le système d’équations
Y
Soit satisfait ou encore ,
41
− X12 = 0
G( X ) − X = 0
12 12
6

Avantages et inconvénient de l’approche
séquentielle modulaire
1. Avantages
Les modèles des unités peuvent être développés et
testés séparément sous forme de sous-programmes.
Les méthodes numériques de résolution des équations
des modèles peuvent être choisies de façon
appropriée pour chaque unité.
D’autres modèles d’unités peuvent être ajoutés
facilement à la bibliothèque de modèles d’unités.
2. Inconvénient
Manque de souplesse concernant les problèmes de
"design" et d’optimisation
7

Établissement du schéma de calcul en séquentiel
modulaire
Application de la théorie des graphes
Procédé ⇔ Graphe
Graphe = {nœuds, branches}
Nœuds = sous-systèmes du procédé
Branches = flux de liaisons entre les différents
sous-systèmesdu procédé.
Flux orientés ⇒ branches orientées ⇒ graphe =
digraphe
Graphe ⇔ Matrice booléenne R
dim R = (n*n)
n: nombre de nœuds du graphe
8

R(i,j) = 1 S’il existe une branche directe du Nœud i
vers le Nœud j
R(i,j) = 0 dans le cas contraire
R est appelée matrice de transition
Exemple:
1
2 3
R =
De
1
2
3
1
0
0
0
vers
2 3 4
1 1 0
0 0 0
0 0 1
4
4
0
0
0
0
les lignes de la matrice représentent les nœuds de départ et les
colonnes représentent les nœuds d’arrivée.
Lois de l’algèbre de Boole :
x + y = max (x,y)
x.y = min (x,y)
9

Propriétés de la matrice de transition
R q (i,j) =1 ⇒le chemin allant du nœuds i vers le nœuds
comporte q branches
j
Si un digraphe est acyclique, ∃ N:
R N+ m = 0
∀ m≥1
Si un digraphe présente un cycle et si le nœud
au cycle alors:
R n*p (i, i) = 1 ∀ p≥1
où n est la longueur du cycle (nombre de branches)
i
appartient
10

Exemple :
1
R =
1 2 3 4
1 0 1 0 0
2 0 0 1 0
3 0 1 0 1
2 4 0 0 0 0
3
R 2 =
1 2 3 4
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 0 1 0
4
4 0 0 0 0
Cycle (2,3)
11

Détermination des flux de coupure
Considérons le procédé représenté par le digraphe suivant:
Le choix du flux de coupure doit être
effectué de manière à minimiser le
volume de calculs.
Pour ce faire, on coupe le flux
intervenant dans le plus grand nombre
de cycles
Ce flux peut être trouvé
systématiquement en appliquant
les règles de MOTARD.
7
1
1
2
2
3
3
4
6
5
8
6
9
4
5
12

Les règles de MOTARD
1. Supprimer les flux qui n’ont pas de flux antérieur;
2. Remplacer les flux par leur antérieur, s’il n’y en a
qu’un. Dès q’un flux apparaît deux fois, le supprimer
une fois (ou ne pas l’écrire)
3. Couper les boucles propres.
( )
4. Couper un des flux parallèles de sens contraire.
Lorsqu’on applique une des règles, il faut toujours
recommencer à la première règle pour continuer.
13

Application des règles de Motard
Flux
(F)
1
2
3
4
5
Flux antérieurs
(F.A)
-
1, 5, 7
2, 4
3
3
6 3
7
6
8
6
Règle 1
F
2
3
4
5
6
7
8
F.A
5, 7, 3
2, 4, 3
3
3
3
Règle 2
6, 3
6, 3
F
2
3
4
5
F.A
On peut remarquer que tous les flux ont le flux 3 comme
flux antérieur .
On coupe le flux 3
6
7
8
7, 3
2, 3
3
3
3
3
3
Règle 2
F
2
3
4
5
6
7
8
F.A
3
2, 3
3
3
3
3
3
14

Début
3
= a
4
5
6
a = f(a’)
Séquence de calculs
2
7
3 = a’
a
−
a a
'
< ε
non
Fin
oui
15

R =
1
2
3
4
5
6
1
2
1
1
1
3
1
1
4
1
5
1
6
1
R 2 =
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5
1
1 1 1
1 1 1
1
Cycle (3,4)
6
R 3 =
1 2 3 4 5
1
1
2 1 1 1
3
4
1 1 1
1 1 1 1
5
1
6
Cycle (2,3,4)
6
1
R 4 =
1 2 3
1
2 1 1
3 1 1
4 1 1
4 5 6
1
1
1 1
1 1 1
5 1 1 1
6
Cycle (2,3,4,5)
Cycle (2,3,4,5) : réseau cyclique maximum (R.C.M) (cycle non contenu
dans d’autres)
16

Les nœuds 1 et 6 sont des flux d’interface, ils peuvent
être résolus séparément 1 d’abord, 6 en dernier lieu.
Les nœuds 2, 3, 4 et 5 doivent être résolus
simultanément.
Le graphe réduit est:
7
2
2
3
3
1
4
5
4
6
5
8
17

Air
Fuel
Vapeur
produite
F8
BRULEUR VAPO-HT F5
VAPO-BT PRECHAUF
F1
F3 F4
F6 F7 F9
fumées
F2
SURCHAUF
F15
F11
SEP1
F14
F13
MIX
F12
F17
F18
DRUM
F10
purge
Schéma de circulation d’une chaudière
18