Cours Modélisation et simulation des procédés industriels

SYMPHOS 2013
Agadir, 06-10 mai 2013
Cours
Modélisation et simulation des
procédés industriels
Séance 2: Plan d’instrumentation et analyse des bilans
Pr. Tijani BOUNAHMIDI
Laboratoire d’Analyse et Synthèse des Procédés Industriels (LASPI),
Ecole Mohammadia d’Ingénieurs, Université Mohammed V-Agdal, Rabat

Bilans de matière dans les systèmes non
réactionnels en régime permanent
Variables utilisées pour la formulation des bilans de
matière. L’un des choix suivants peut être adopté:
1- Le débit molaire pour chaque constituant j: N j
N
= ∑ s N
j
(mole/h) j=
1
avec: S, nombre de substances du courant
2- Le débit massique pour chaque constituant: F j
F = ∑ s
(kg/h) j = 1
F
j

Bilans de matière dans les systèmes non
réactionnels en régime permanent (suite)
3- Le débit molaire total du courant et la composition
molaire en chaque constituant du courant:
N j
x j= ∑x
j= 1
N
4- Le débit massique total du courant et la composition
massique en chaque constituant du courant:
N. B.:
Fj
w j=
F
s
j=
1
F
N = N (w F/M ) F (w /M )
s s s s
j
j
= =
j j
=
j j
j= 1 j= 1 M
j j= 1 j=
1
∑ ∑ ∑ ∑
w j= 1
N w F/M w
j/M
j j j j
x = = =
j N s s
∑ (w F/Mj) ∑ wj/Mj
j
j = 1 j = 1
s
∑
j=
1

Equations de bilans de matière indépendantes
Dans un système à S constituants, S +1 équations de
bilans de matières peuvent être écrites:
S équations de bilans partiels
& i i i i
(1)
∑ w j
F
=
∑
w
jF
entrée j F
sortie
1 équation de bilan total
∑ =∑
F i Fi
(2)
entrée sortie
Seules S équations sont indépendantes, l’équation
restante peut être générée à partir des autres équations.
seules S équations peuvent être utilisées
pour la résolution des équations de bilans

Homogénéité des équations de bilans
Les équations de bilans sont homogènes en débits des
courants.
( x,
y)
Soit une équation f(x,y) = 0 et une solution de
cette équation.
∀α∈R αy
f (x, y) est dite homogène en y, si est
solution de f(x , y) = 0
F i i=
1,...,s
Pour les équations de bilans, si sont
solutions de l’équation (1) alors:
w Fi
= w Fi
∀α∈R:
∑
i=
courantd' entrée
i j
∑
i=
courantdesortie
α ( w
iF i)
( w
iF i
∑ j =α ∑ j ) w
i
( F
i)
w
i(
Fi
∑ )
j α = ∑ j α
entrée
sortie
i j
entrée
sortie

Base de calcul
Si le débit d’aucun courant du système n’est spécifié,
alors n’importe quelle valeur de débit pourra être choisie
pour n’importe quel courant pour servir de base de calcul.
Cette règle est une conséquence de la propriété
d’homogénéité des équations de bilan.
Exemple:
1000 kg / h ; 100 mole /h ; 100 t/h; …

Information pour le calcul de bilans
1. Le système choisi avec des courants d’entrée – sortie
2. Les variables caractéristiques des courants permettent
de décrire le débit et la composition de chaque courant
3. L’ensemble des équations de bilans dont au plus S sont
indépendantes, où S est le nombre total de substances
différentes mises en jeu dans les courants du système
4. La base de calcul choisie

Information pour le calcul de bilans (suite)
5. Quelques spécifications sur les courants pouvant être
classées en:
Spécifications de composition
Spécifications de débits
Autres spécifications:
Rapports de débits de courants
Taux de récupération
Relations entre compositions de
courants

Analyse de bilans de matière
Avant de se lancer dans la résolution des équations de
bilans, il faut s’assurer que le système d’équations
correspondant, admet une solution. Ceci passe par la
recherche du nombre de degrés de liberté du système
Nombre de degrés de liberté = nombre total des variables
indépendantes, caractéristiques des courants
-
Nombre total des équations de bilans indépendantes
-
Nombre total de spécifications indépendantes relatives
aux variables des courants
-
Nombre total d’autres spécifications

Analyse de bilans de matière (suite)
Si le nombre de degrés de liberté est positif, le système
est sous-spécifié "underspecified".
Il faut ajouter d’autre spécifications indépendantes.
Si le nombre de degrés de liberté est négatif, le système
est sur-spécifié "overspecified".
Certaines équations sont alors redondantes. C’est à dire
ne mettant en jeu que des variables déjà calculées. Ces
équations redondantes doivent être éliminées avant
d’entamer la résolution des équations.
Si le nombre de degrés de liberté est nul. Il existe une
solution unique au problème et la résolution est possible.

Stratégie de résolution
Il s’agit de choisir une stratégie qui puisse permettre de
résoudre le système d’équations de la façon la plus simple
possible. Surtout si les calculs sont effectués manuellement.
Cette stratégie est celle qui consiste à résoudre les équations
de manière séquentielle.
Pour l’utilisation d’une telle stratégie, il faut procéder
comme suit:
1. Parmi les S + 1 équations de bilans possibles, il faut choisir
celles qui comportent le moins d’inconnues.
On préférera une équation de bilan partiel relative à
une substance qui intervient dans un nombre minimum de
courants

Stratégie de résolution (suite)
L’équation de bilan global est toujours conseillée car
elle ne fait intervenir que des débits. Donc moins
d’inconnues que les bilans partiels
2. Le choix de la base de calcul doit être effectué de
manière à découper le système d’équations en vue
d’une approche séquentielle. Même si la valeur d’un
débit est déjà spécifié, il est conseillé de choisir une
nouvelle base de calcul avec une mise à l’échelle de la
solution trouvée pour la rapporter à la valeur du débit
spécifié.

Système comportant plusieurs unités
A 1
A 2
A 1
A 2
A 3
A s
A 1
A
A s
3
A s
Unité I II III M
On peut envisager plusieurs sous systèmes:
A s-2
I.; II; III;…M
I + II; II + III; (M-1) + (M)
I + II + III; III + IV +V; (M-2) + (M-1) + M
…
I + II + III + … + M
Au tour de chaque sous système, on peut définir
un système à S équations de bilans indépendantes, parmi
S+1 possibles

Système comportant plusieurs unités (suite)
Tous les sous systèmes d’équations obtenues ne
sont pas indépendants.
Seuls M sous-systèmes sont indépendants
Pour plus de simplicité, on choisira ces sous systèmes
parmi les sous systèmes suivants:
I ; II ;…; M ; I + II + III +…+ M
Unité Unité Unité Global
S 1 S 2 … S M
Le nombre maximum d’équations de bilans
indépendantes pour tout le système M
∑
= S
i =1
i

Nombre de degrés de liberté
On dresse la table des degrés de liberté constituée comme suit
Unité I Unité II … Unité
M
Procédé
Bilan
global
Nombre de variables
Nombre d’éq. Bilan
ind.
Nombre de
spécifications de
courants:
Composition
Débits
Nombre d’autres
spécifications
Nombre de degrés de
liberté
On commence par résoudre le sous système dont le nombre de
degrés de liberté est égale à zéro

Systèmes avec diviseur
Mélangeur
Unité
Diviseur
Diviseur
Unité
Mélangeur
recyclage
1
Diviseur
2
3
N + 1
}
N
"bypass"
branches
S constituants
Toutes les branches d’un diviseur ont la même
composition:
∀i,k i ≠ k (i,k:courants)
i k
x
j
= x
j
∀j, k pourS−1
substances
Pour un diviseur à N branches et S substances, il existe
un nombre de contraintes de division égal à (N-1)(S-1)

Bilans de matière dans les systèmes
réactionnels en régime permanent
Réaction chimique simple
Stœchiométrie
aA + bB +…
pP + qQ+…
On peut l’écrire sous une forme purement algébrique:
aA + bB +… = pP + qQ+…
0 = (-a)A + (-b)B +…+pP + qQ +…
De manière générale, si une réaction fait intervenir A j
(j = 1,…,s) (constituants actifs), alors on an:
stœchiométrique)
ν j < 0
ν j > 0
ν j = 0
S
∑
j=
1
ν j A j=
0
(équation
pour les constituants A j réactifs
pour les constituants A j produits
pour les constituants A j inertes

Bilans de matière dans les systèmes réactionnels
en régime permanent (suite)
Equation de bilan partiels
courant
∑ Ni j + R j=
i entrée
courant
∑
N
i j
i sortie
J = 1, …, S
R j : débit de production du constituant A j
R j 0
R j = 0
pour A j réactif
pour A j produit
pour A j inerte

Avancement d’une réaction simple
R
ν
j
j
est une constante qui ne dépend pas du
constituant A j (d’après l’équation
stœchiométrique)
R
ν
j =
j
réaction
ξ
: degré d’avancement de la
"The extent of reaction"

Variable chimique d’un système réactionnel
ξ
Les équations de bilans de matière partiels peuvent
être écrites en fonction de :
courant
∑ N
i j + ν jξ =
i entrée
courant
∑
i j
i sortie
j = 1, …, S
Il y a donc intervention d’une variable supplémentaire
par rapport aux équations de bilans partiels
relatives aux systèmes non réactionnels. C’est
: variable chimique qui caractérise l’évolution de la
réaction en question dans le système étudié.
N
ξ

Nombre de degrés de liberté d’un système
En plus des variables prises en considération dans
l’analyse des degrés de liberté pour un système non
réactionnel, il faut ajouter la variable chimique (1
variable) dans le cas d’un système réactionnel à une
réaction.
Mis à part cette différence, l’analyse des degrés de
liberté doit être menée de la même manière pour les
systèmes réactionnels et non réactionnels.

Spécifications particulières
Taux de conversion d’un réactif clé A c :
x c
∑
N
−
∑
i c
i courant entrée i courant
=
∑
N i c
i courant entrée
N
i c
sortie
Avancement généralisé
χ=
∑ ξ
N i
courant i étape de référence

Transformation chimique à réactions multiples
S
∑
j=
1
ν A = 0
kj
j
k = 1, …, T
(système à S substances et T réactions)
ν kj : coefficient stœchiométrique du constituant A j dans la
réaction k.
ν k
: vecteur des coefficients stœchiométriques des
constituants A j intervenant dans la réaction k
ν
: matrice des coefficients stœchiométriques des
constituants A j intervenant dans la transformation
complexe.
dim ν = ( E, S)

Réactions indépendantes
R réactions de transformation chimique complexe sont
indépendantes si et seulement si :
R
∑
k=
1
γ ν = 0⇒ γ = 0
k k k
(les vecteurs
ν k
Autrement dit: si et seulement si
Règles pratiques:
k = 1, …, R
k = 1,…, R doivent être libres)
rg ν=R
Des réactions sont indépendantes, si aucune d’elles ne
peut être obtenue par combinaison linéaire des autres.
Si une réaction comporte une substance qui n’intervient
pas dans les autres réactions elle est indépendante

Equations de bilans de matière partiels
courant
∑ N
i j + ∑ν
kjξ k =
i entrée
R
∑ N
i j
k = 1 courant i sortie
est le degré d’avancement de la réaction
indépendante k intervenant dans le système.
ξk
il y a mise en jeu de R variables chimiques (R
étant le nombre de réactions indépendantes)

Analyse des nombres de degrés de liberté
Idem que pour une réaction simple, sauf qu’il faut faire
intervenir R variables chimiques.
Spécification particulière:
Rendement fractionnaire
Υ
=
pq
R
p
MAX
p
Il exprime le rendement de la production du produit P
à partir du réactif q.
R
MAX
R p étant le débit de production maximum de P si
tout le réactif q était utilisé pour la production de p
uniquement.

Bilans atomiques dans les systèmes ouverts
en régime permanent
Intérêt des bilans atomiques:
Transformation chimique à stœchiométrie inconnue ou
très complexe;
Mélanges complexe dont seul une composition
élémentaire est disponible (Analyse élémentaire)

Formulation des équations de bilans atomiques
Soit un système à M entrées et N sorties faisant
intervenir S constituants formés de E éléments.
Si R j est le débit de production algébrique du constituant A j ,
alors:
Soit
α
R
j
=
N M
Ni j −∑
i=
1 i=
1
∑
N
: la matrice des coefficients atomiques
α ej : coefficient atomique de l’élément e dans la
substance A j (c’est le nombre d’atomes grammes dans une
mole de la substance A j )
dim α = ( E, S)
avec: E, nombre d’éléments et S, nombre de substances
i j

La conservation atomique permet d’écrire:
S
∑
j=
1
α
ej R j=
0
e = 1,…, E
C’est le système d’équations de bilans atomique,
exprimé en débits atome-gramme.
En faisant intervenir les masses atomiques, on a:
M
S
e ∑αejR
j
=
j=
1
0
e = 1, …, E
⇒
E
∑
e=
1
S
Me αejR
j=
0
∑
j=
1
⇒
S
∑
j=
1
E
R j Meαej=
0
∑
e=
1

E
∑M eαej=
e=
1
M
or (Masse molaire de la substance A j )
⇒ ∑
S
⇒∑M j R j=
j=
1
S
FS = 0
j=
1
0
j
: C’est le bilan massique global.
Nombre maximum d’équations de bilans atomiques
indépendantes = Nombre d’éléments intervenant dans les
substances du système:
E: équations de bilans atomiques
Ou
E - 1: équations de bilans atomiques
+1 équation de bilan massique global
Ces équations sont homogènes en débits

Indépendance des équations de bilans atomiques
S
∑
j=
1
α
ej
R = 0
j
e = 1,…, E
α e
:vecteur des coefficients atomiques de l’élément e
dans
les substances S intervenant dans le système
(e = 1,…,E)
Le nombre d’équation de bilans atomiques
indépendantes =rgα

Analyse des nombres de degrés de liberté
Même méthodologie que dans le cas des bilans
matières par rapport aux substances, sauf que dans le cas
des bilans atomiques il n’y a pas de termes de production
Les seules variables qui interviennent sont les variables
associées aux substances formant les courants aux
substances formant les courants de matière.
N. B.:
Il faut s’assurer de l’indépendance des équations de bilans
atomiques en cherchant le rang de la matrice des
coefficients atomiques
Il faut s’assurer de l’indépendance des réactions par une
procédure analogue à celle utilisée pour les bilans de
matière / substances.

Relation entre bilans de matières atomiques
et par rapport aux substances
R
R
= ∑
ν ξ
j ij i
i = 1
j = 1, … ,S
Soit un système réactionnel impliquant V variables de
courants, S substances et R réactions indépendantes.
Le nombre de degrés de liberté de ce système est:
V + R – S
Si dans ce même système, les substances S sont
formées à partir de E éléments chimiques participant à E’
bilans atomiques indépendants, alors, le nombre de degrés
de libertés des équations de bilans atomiques est:
V – E’

Relation entre bilan de matières atomiques
et par rapport aux substances (suite)
Deux cas peuvent être distingués:
V + R – S = V - E’ R = S – E’
Les bilans / substances sont équivalents aux bilans
atomiques
R < S – E’ alors la dimension du système d’équations
de bilans atomiques fournit moins d’équations ll
faut utiliser les bilans / substances.
R ≤
S -E'
Le nombre de réactions indépendantes est toujours
inférieur à la différence entre le nombre de substances et
le nombre de bilans atomiques indépendants.

Conversion de bilans atomiques en bilans
par rapport aux substances
La conversion atomique et la stœchiométrie
permettent d’écrire:
Exemple:
Soit la réaction:
e = 1,…, E
CH 3
3 OH +
O2
→
CO 2
+
2H 2
O
2
CH
3OH O
2
CO
2
H
2O
C 1 0 1 0
α = H 4 0 0 2
O 1 2 2 1
⎛
⎜
-1
3
⎜ -
ν = ⎜ 2
⎜
1
⎜
⎝
2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

Conversion de bilans atomiques en bilans par
rapport aux substances (suite)
on a:
pour C:
pour H:
pour O:
1 ( − 1 ) + 0 ( − 1 (1 ) 0 (2 ) 0
2 3 ) + + =
4 ( − 1 ) + 0 ( − 0 (1 ) 2 (2 ) 0
2 3 ) + + =
1 ( − 1 ) + 2 ( − 2 (1 ) 1 (2 ) 0
2 3 ) + + =
Si la matrice atomique est connue et la matrice
stœchiométrique est inconnue, cette dernière peut être
obtenue en résolvant le système d’équations (1).
Le nombre d’équations indépendantes du système (1)
étant égal à E’ et comme le nombre de substances est
supérieur à E’, alors il existe une infinité de solutions qui
peuvent être générées sous forme de combinaisons linéaires
de S – E paramètres au maximum.

Analyse des bilans énergétique
Équation générale de conservation d’énergie
pour un système non réactionnel
dW
dt
dQ
dt
Û
v
T P Vˆ U ˆ Hˆ
2 2 2 2 2
v 2
z
T P V ˆ U ˆ Hˆ
1 1 1 1 1
v 1
z 2
z
z 1
∑
j
dm )
j 1 )
2 1 2 dmk
dQ dW d 1 2
(H gz v )
j
(H gz v ) ⎡ )
⎤
+ + − ∑ + +
k
+ − = (U + gz + v )m
dt 2 k 2 dt dt dt dt
⎢
2
⎥
⎣
⎦

Analyse des bilans énergétique (suite)
Pour un système en régime permanent:
∑
k
) 1 ) 1 dQ dW
(H + gz + v ) F - ∑(H + gz + v ) F = -
2 2 dt dt
2 k 2 j
k
j
j
En négligeant les termes relatifs aux énergies potentielle et
cinétique, l’équation de bilan énergétique pour un système à S
constituants devient:
⎡
⎤
S
dQ dW
j j k k
- = ⎢
) )
∑ ∑ FS H
S(T )- ∑ FS H
S(T ) ⎥
dt dt ⎢
⎥
S=1 courants courants
⎢⎣
entrée j
sortiek ⎥⎦

Variables du bilan énergétique
Variables des courants relatives aux bilans de
matière
Température, pression et phase de chaque
courant de matière
dW
dt
et
dQ
dt
pour chaque unité (ou système)

Variables du bilan énergétique (suite)
N.B.:
La pression est imposée par des considérations relatives aux
équilibres physico-chimiques ou à l’écoulement. Elle n’est
donc pas considéré comme variable indépendante du bilan
énergique.
La (les) phase(s) de chaque courant de matière est (sont)
déterminée(s) au préalable. Elle(s) n’est (sont) pas
considérée(s) comme variable(s) indépendante(s) du bilan
énergétique.
L’équation du bilan énergétique est homogène en débits
dW dQ
et en et . La base de calcul peut donc être choisie
dt dt
parmi l’une de ces variables de manière tout à fait libre.

Règle de phases
D = c - φ + 2
D: nombre de degrés de liberté du système
C: nombre de constituants du système
φ : nombre de phases du système

Système à un seul constituant
φ = 3 → D = 0 : point triple
D = 3 - φ
φ = 2 → D = 1 : il faut fixer soit la pression, soit la
température, à partir de la connaissance de l’une on peut
déterminer l’autre à l’aide de l’équation d’Antoine (dans le
cas d’un ELV):
Ln P=
A−
T B + C
φ = 1 → D = 2 : il faut fixer et la pression et la température.
Le volume spécifique peut être déterminé à partir de la
connaissance de ces deux variables en utilisant l’équation
d’état relative à la substance en question.