Reoim - OEI

Revista Escolar de la Olimpíada Iberoamericana de Matemática
Número 43 (octubre – diciembre 2011)
ISSN – 1698-277X
ÍNDICE
Artículos, Notas y Lecciones de Preparación olímpica 43
Nota necrológica: Prof. Dr. Luis Davidson San Juan (1921 – 2011)
Moisés Toledo Julián: El método de integración de Federico Villarreal.
Problemas para los más jóvenes 43
Dos problemas (PMJ43-1 y PMJ43-2) propuestos por Carlos Hugo
Olivera Díaz, Lima, Perú.
Tres problemas (PMJ43-3,PMJ43-4 y PMJ43-5) enviados por Juan Jesús
Moncada Bolón, San Francisco de Campeche, México.
Recibidas soluciones a los problemas PJ42-1 y PJ 42-3, por Luis M.
Maraví Zavaleta, Huamachuco, Perú, que presentamos.
Problemas de Nivel Medio y de Olimpiadas 43
Problemas propuestos en la Competición Matemática Mediterránea
2011.
Problemas 43
Problemas propuestos 211 – 215
Problemas resueltos
Problema 21. El Prof. Bruno Salgueiro Fanego nos indica varias fuentes
bibliográficas donde ha aparecido este problema, con anterioridad a la
REOIM. Del exhaustivo material aportado por Salgueiro se desprende
que el origen más probable del problema es la 48ª Olimpiada de Polonia

(1997), donde fue propuesto en su última ronda. El Editor agradece el
esfuerzo realizado de rastreo del origen del problema.
Problema 201. A su debido tiempo se recibieron sendas soluciones a
este problema, por Dones Colmenárez, Barquisimeto, Venezuela, y
Roberto Bosch Cabrera, entonces en La Habana, Cuba, que no fueron
mencionadas en el vol. 42, por lo que el Editor presenta sus excusas a
ambos resolventes.
Recibida una solución del problema 204 por Robinson Alexander Higuita
Díaz, Antioquia, Colombia.
Problema 206
Recibidas soluciones de Kee-Wai Lau, HongKong, China; Daniel Lasaosa
Medarde, Pamplona, España; Ricard Peiró i Estruch, Valencia, España;
Bruno Salgueiro Fanego, Viveiro, España; y el proponente.
Presentamos la solución de Peiró.
Problema 207
Recibidas soluciones de Francisco Javier García Capitán, Priego de
Córdoba, España; Daniel Lasaosa Medarde, Pamplona, España; Cristóbal
Sánchez-Rubio García, Benicassim, España; y el proponente.
Presentamos la solución de García Capitán.
Problema 208
Recibidas soluciones de: Álvaro Begué Aguado, Nueva York, USA; Daniel
Darío Góngora García, Lima, Perú; José Hernández Santiago, Oaxaca,
México; Daniel Lasaosa Medarde, Pamplona, España; Paolo Perfetti,
Universitá degli Studi Tor Vergata, Roma, Italia; Bruno Salgueiro
Fanego, Vivero, España; y el proponente.
Presentamos la solución de Begué.
Problema 209
Recibidas soluciones de: Floro Damián Aranda Ballesteros, Córdoba,
España; Álvaro Begué Aguado, Nueva York, USA; Daniel Darío Góngora
García, Lima, Perú; Kee-Wai Lau, Hong Kong, China; Daniel Lasaosa
Medarde, Pamplona, España; Ricard Peiró i Estruch, Valencia, España;

Paolo Perfetti, Universitá degli Studi Tor Vergata, Roma, Italia; Henry
Alexander Ramírez Bernal, Bogotá, Colombia; Joaquín Rivero Rodríguez,
Zalamea de la Serena, España; Bruno Salgueiro Fanego, Vivero,
España; y los proponentes.
Presentamos la solución de Begué.
Problema 210
Recibidas soluciones de Daniel Lasaosa Medarde, Pamplona, España; y
del proponente.
Presentamos la solución de Lasaosa.
Divertimentos Matemáticos 43
Covadonga Rodríguez-Moldes Rey: Liberando incógnitas.
F. Bellot: Capturado en Internet
Comentario de páginas web y Noticias de Congresos 43
XV JAEM en Gijón (España)
Congreso de la SBPMef en Bastogne (Bélgica)
Congreso Elementary Geometry from an Advanced Point of Vue en
Aveiro (Portugal)
XXVI Olimpiada Iberoamericana de Matemática, en Costa Rica.
Cartas al editor 43
Sobre la prueba de Pascal : Respuesta del Prof. Milton Donaire Peña al
comentario del Prof. Lucas Martín Andisco, publicada en el vol. 42.
Sobre Historia de las Matemática en la Península Ibérica : carta de Raúl
A. Simón Elexpuru, Chile.

Convocatorias OEI
Curso iberoamericano de formación de profesores de secundaria en el área de
matemáticas Ñandutí
17 de noviembre de 2011
El curso lo convoca la Organización de Estados Iberoamericanos
para la Educación, la Ciencia y la Cultura (OEI) en el seno de su
Centro de Altos Estudios Universitarios con la participación de
aquellos países Iberoamericanos que decidan incorporarse al
proyecto. El proyecto se enmarca en la colaboración que la OEI y
la Agencia Española de Cooperación Internacional para el
Desarrollo AECID desarrollan con el fin de apoyar la construcción
del Espacio Iberoamericano del Conocimiento a través del fomento
de vocaciones hacia la ciencia y al avance del Programa Metas Educativas 2021.
Además, presta su colaboración el Ministerio de Educación de Paraguay y la Consejería de
Innovación, Ciencia y Empresa de la Junta de Andalucía (España).
Empezamos en marzo 2012
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Curso Básico sobre TIC y Educación
24 de noviembre de 2011
Convocatoria de matrícula y becas abierta
A los cursos inicial y de especialización que la OEI tiene puestos
en marcha se une a partir de marzo de 2012 el Curso Básico.
El curso se propone para docentes en ejercicio y estudiantes de la
carrera docente.
El objetivo del Curso es proporcionar a los participantes de las
herramientas básicas que las TIC proporciona a la educación.
Al tratarse de un sector de gran dinamismo se hace un especial énfasis en la capacidad de
seguir aprendiendo y conociendo los avances y propuestas tecnológicas para la educación
Este curso se hace con el apoyo de la Fundación Telefónica.
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VI Curso sobre Educación para la Cultura Científica
15 de noviembre de 2011
Próxima edición marzo 2012. Becas disponibles
En el marco del Proyecto Iberoamericano de Divulgación
Científica de la Organización de Estados Iberoamericanos
para la Educación, la Ciencia y la Cultura con la coordinación
académica de la Universidad de Oviedo y realizado con el apoyo
de la Agencia Española de Cooperación Internacional para el
Desarrollo (AECID) se convocan a profesores/as (con
alumnos/as con edades comprendidas entre los 14 y 18 años) a

participar en esta nueva edición del curso.
Más información [+
Congreso Iberoamericano de las Lenguas en la Educación
23 de noviembre de 2011
Salamanca, España, 5 al 7 de septiembre de 2012
La Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación,
la Ciencia y la Cultura (OEI) en el marco de su Programa para el
fortalecimiento de las Lenguas de Iberoamérica en la Educación
convoca al Congreso Iberoamericano de las Lenguas en la
Educación que se celebrará en la ciudad de Salamanca del 5 al 7
de septiembre de 2012.
Se encuentra abierta la inscripción y la entrega de propuestas de comunicaciones y
experiencias
Incluye: Leer para aprender matemática
Más información [+]

REOIM 43
Nota necrológica, por Francisco Bellot
Prof. Dr. Luis Davidson San Juan (1921 – 2011)
Estando en preparación este número 43 de la REOIM nos llega,
a través del correo electrónico, la triste noticia del
fallecimiento, en su querida La Habana, del Prof. Luis
Davidson, pocos días después de habérsele rendido allí un
merecido homenaje con motivo de su nonagésimo
cumpleaños. Agradecemos al Prof. Mario Díaz su amabilidad
para enviarnos el texto del Prof. Carlos Sánchez Fernández, de
la Universidad de La Habana, leído durante dicho homenaje, y
del que nos permitimos tomar algunos datos biográficos del
Prof. Davidson.
Luis Davidson San Juan nació en La Habana el 10 de
septiembre de 1921. En la Universidad de La Habana cursó la
carrera de Ciencias Físico-Matemáticas, doctorándose en 1944
con su tesis Desarrollos en serie de las funciones analíticas.
De 1945 a 1961 impartió sus clases en el Instituto de
Segunda Enseñanza de Matanzas. En 1950 formó parte de la
delegación cubana en el ICM de Harvard, y el curso 1958 – 59
realizó un intercambio con una High School de Nuevo México.
En 1960 es nombrado Inspector Nacional de Matemáticas y en
1966 Coordinador Nacional de Planeamiento e Inspección
Técnica. Desde 1963 organizó los concursos de Matemáticas
para estudiantes de Bachillerato en todo el país y participó
desde 1971 en la Olimpiada Internacional de Matemáticas
como Jefe de la Delegación de Cuba, llegando en 1988 a ser
Vicepresidente del IMO Site Committee ( y a presidir sus
reuniones en 1988, por ausencia del Presidente).
La O.E.I. le concedió en 199 un Diploma como Maestro
Fundador de los Concursos de Matemáticas en Iberoamérica.
La primera vez que coincidí en persona con Luis Davidson fue,
si la memoria no me falla, en Australia en 1988. Conocía, a
través del Prof. Raimundo Reguera, algunas de sus
publicaciones (Los concursos de Matemática, con Félix Recio).
Un año más tarde volví a verle en el Simposio previo a la
Olimpiada Iberoamericana. El mes de Abril, en La Habana,

suele ser caliente. Pero Davidson siempre parecía inmune al
calor ambiental, con su impecable corbata y su traje,
perfectamente planchado. Además de su aspecto,
impresionaba la precisión de su lenguaje, la forma de
transmitir sus conocimientos, propia de un verdadero
maestro. Tras aquellos primeros encuentros, coincidimos a lo
largo de los años siguientes en varias reuniones y congresos :
en 1990, en Waterloo (Canadá), en la 1ª Conferencia de la
Federación Mundial de Competiciones Matemáticas Nacionales
(WFNMC); en 1992, en el ICME de Quebec, donde Davidson
recibió el Premio Paul Erdös de la FNMC. En la siguiente foto
se nos ve al final de una de las sesiones en Quebec.
Y me considero muy afortunado porque, a lo largo de mi
carrera, he sido considerado amigo por muchos matemáticos
ilustres. Entre ellos está, por descontado, Luis Davidson, cuya
tradicional felicitación de Año Nuevo ya no podré recibir más…
En 2009, Davidson me hizo llegar un ejemplar dedicado de su
último libro, Ecuaciones y Matemáticos, Ed. Pueblo y
Educación, 2008. Lo conservo con singular cariño en mi
biblioteca. También tengo el primer volumen de una obra
colectiva (Davidson – Reguera – Frontela – Castro) que
considero tuvo una enorme influencia en la educación

matemática de los estudiantes cubanos: Problemas de
Matemática Elemental, Ed. Pueblo y Educación, 1987. El libro
fue un regalo durante la IMO de Australia de 1988 del otro
pionero, junto a Davidson, de los concursos de Matemáticas
en Cuba, Prof. Raimundo Reguera, fallecido hace varios años.
Sirvan estas breves, pero sinceras, líneas, de homenaje y
recuerdo a un gran matemático, un excelente profesor y una
mejor persona.
Luis, sit tibi terra levis.
Valladolid, noviembre de 2011
Francisco Bellot Rosado

HISTORIA DE LA MATEMÁTICA
EN EL PERÚ
ANÁLISIS DE OBRAS
MÉTODO DE INTEGRACIÓN DE
FEDERICO VILLARREAL
Autor: Moisés Samuel Toledo Julián
(el numeros@hotmail.com)

Resumen
Federico Villarreal al presentar su tesis de Bachiller[2] ante la Facultad de Ciencias de
la Universidad Nacional Mayor de San Marcos (Lima–Perú), realizó una observación
notable sobre el método de integración por partes. Dada la importancia del tema,
este será tratado en tres secciones, cada uno de los cuales indicará una subparte de la
misma, los puntos a tratar serán:
1. Sobre expresiones susceptibles de generalización.
2. Método de traspasos.
3. Aplicación del método de traspasos.
Es claro que no describiremos la teoría de integración (en el sentido de riemann), el
presente desarrollo asumirá que el lector posee por lo menos nociones sobre el proceso
de integración.
2

1. Sobre expresiones susceptibles de generalización
E s bien conocido que las operaciones aritméticas de composición (+, ×, ()n ) y descomposición
(−, ÷, n √ ) cuando son tomadas en forma sucesiva no siempre es posible invertir
el orden en la que se operan. Por ejemplo: a la cantidad a agregarle b y quitarle c es lo
mismo que quitarle primero c y agregarle después b, es decir (a + b) − c = (a − c) + b. Pero
si a la cantidad a se agrega b y se multiplica por c no es lo mismo que multiplicar a por c
y agregar b, es decir: (a + b)c = ac + b sino que debe añadirse bc para obtener el mismo
resultado. Podemos resumir lo mencionado líneas arriba mediante el siguiente principio[2]:
“Cuando hay dos operaciones sucesivas de composición o descomposición, ambas del
mismo orden, se puede invertir su cálculo; pero si son de distinto orden no se puede
cambiar su enunciado sino con cierta condición; más si una o ambas operaciones son
imposibles no es permitida su permutación”
— Federico Villarreal
El anterior principio sirve para mostrar que existen diferentes proposiciones suceptibles
de una expresión general. Es así que el Dr. Villarreal plantea el caso de integración por
partes como uno suceptible de generalización.
1.1. Recordando el método de integración por partes
Pasamos ahora a recordar (brevemente) en que se basa el método de integración por
partes:
1 ro por la regla de la derivada de un producto tenemos
(f(x) · g(x)) ′ = f ′ (x) · g(x) + f(x) · g ′ (x)
2do integrando a ambos lados de la igualdad
⇒ (f(x) · g(x)) ′
∂x = f ′
· g(x)∂x + f(x) · g ′ (x)∂x
3ro usando el hecho que la derivada e integral son operadores inversos y despejando adecuadamente
⇒ f(x) · g ′
(x)∂x = f(x) · g(x) − f ′ (x) · g(x)∂x
A partir de los calculos anteriores y del hecho que una integral y = f(x)∂x sienpre es
posible escribirla como y = A · dB tenemos que esta ultima puede ser expresada como la
combinación de dos términos con signos alternados. Esto da pie a considerar la integración
por partes como suceptible de generalización y a corroborar lo dicho en 1 puesto que
y = f(x)∂x escrita en términos de A, B tomará una forma mas simple o complicada
segun sean A y B escogidos en forma adecuada.
Recordemos tambien que el método de integración por partes puede subdividirse en
dos casos:
• Descomponiendo la función en sumandos: este método es aplicable a funciones racionales,
que descompuestos en sus fracciones parciales se pueden integrar algebraicamente
o por logaritmos o por arco tangentes.
3

• Descomponiendo la función en factores: aplicable a los demás casos.
Al segundo método se le ha dado (impropiamente) el nombre de integración por partes,
pues aunque los factores pueden considerarse como partes de ese producto, tambien lo
son los sumandos como parte del total. Por tanto a los dos juntos deberían llamarseles
integración por partes, a la primera integración por sumandos y a la segunda integración
por factores.
Habiendo hecho notar los principios sobre los cuales el Dr. Federico Villarreal inicia su
estudio sobre la integración por traspasos, pasamos a describir el método en si.
2. Método de traspasos
Primero haremos notorio algunas observaciones relativas a las técnicas de integración.
2.1. Observaciones:
1. El
método de integración inmediata tiene sus reglas fijas. La inversa de la derivación:
x3 x ∂x = 4
4 + cte , o tambien √ x∂x = 2
√
3 x3 + cte (cte: constante real)
2. El método de integración por sustitución no posee sus reglas fijas, pues depende de
los casos que se presenten:
a) Para convertir en algebraica una expresión trascendente ln(x + 1) cos x∂x
b) Para bajar el orden de las ecuaciones integrales, para hacerlas homogéneas, etc
(esto constituye parte de la teoria de ecuaciones integrales)
c) Para hacer racional a una función inconmensurable
1
√ x 2 +1 ∂x
3. El método de integración por sumandos tambien tiene sus reglas fijas:
a) Si el denominador de la fracción tiene raíces iguales
b) Si el denominador tiene raíces distintas
∂x
x2 +3x+10
c) Si el denominador tiene raíces imaginarias ∂x
x2 +1
∂x
x 2 −6x+9
4. Sin embargo no se ha hecho lo mismo con la integración por factores, atendiendo a
ello Juan Bernoulli sentó lo que se denomina la base del cálculo integral (en analogía
a lo que el método de Taylor lo es al cálculo diferencial). Así considerando como
factor constante ∂x tenemos:
y = f(x)∂x
= xf(x) − f ′ (x)x∂x
Pero
Así
f ′ (x)x∂x = x2
2 f ′ (x) − 1
2
f ′′ (x)x 2 ∂x
y = xf(x) − x2
2! f ′ (x) + 1
2!
4
f ′′ (x)x 2 ∂x

Procediendo análogamente para la ultima integral:
y = xf(x) − x2
2! f ′ (x) + x3
3! f ′′ (x) − x4
4! f ′′′ (x) + · · · (1)
Si bien es cierto que el factor ∂x se presenta de forma natural, el método no supone
que precisamente deba tomarse ese factor sino cualquier otro, ya que al hacerlo lo
particulariza, esto es la escencia del método de integración por traspasos del Dr.
Federico Villarreal.
2.2. Principio de integración por traspasos
Dada la expresión y = f(x)∂x siempre es posible expresarla en la forma y = A · dB
y sin hacer traspasos de términos, podemos interpretar la fórmula (1) del modo siguiente:
1. Tomar A después diferenciarla y dividir por ∂x, volver a diferenciar y dividir por ∂x,
etc. Es decir, calcular las derivadas sucesivas de A.
2. Tomar B después multiplicarla por ∂x e integrar, volver a multiplicar por ∂x e
integrar, etc. Es decir, calcular las integrales multiples de B.
3. Multiplicar los resultados homólogos y dar los signos mas y menos, es decir
A · B − A ′
· B∂x + A ′′
· B∂x − A ′′′
· B∂x · · ·
Como por la diferenciación va aumentando el coeficiente y disminuyendo el exponente,
cuando este sea cero la derivada es constante y la siguiente será cero, por tanto
en este caso habrá integración exacta. Así también, como por la integración va disminuyendo
el coeficiente y aumentando el exponente resulta que si una integración
es constante la siguiente no será cero, pues al multiplicar por ∂x la integración dará
∂x, pero si el exponente es negativo la integración llegará a ser infinita, y en este
caso la integral (como se sabe) es un logaritmo.
Ejemplo 1. Sea la función x 4 , cuya integral puede ser expresada en formas distintas y
por tanto el factor ∂x no es el único que se presenta de forma natural, así pues:
z =
x 4
∂x =
x 2 × x 2 ∂x =
aplicando el método para A = x 2 y B = x3
3
A = x 2
dA
= 2x
dx
d2A = 2
dx2 d3A = 0
dx3
x 2
× ∂(
x 2
)∂x =
tenemos en cada caso:
5
(
x 2 × ∂( x3
) (2)
3
B = x3
3
B∂x = x4
12
B∂x)∂x = x5
60

note que no consideramos la cuarta iteración para B puesto que la cuarta iteración para A
fue cero, luego la integral resultante de acuerdo a (3) será:
z = x5
3
− x5
6
+ x5
30
= x5
5
Si bien es cierto la función considerada para la integración es bastante simple, nos permite
hacer notar la recursividad del método y la tendencia a buscar una generalización del mismo
(esto en realidad constituye un caso muy simple del método de traspasos del Dr. Federico
Villarreal, note que si estamos realizando traspasos, con la descripción de la siguiente
sección podrá usted darse cuenta de ello y corroborará que la manera de hacerlo constituye
un caso trivial).
Para fijar notación al término A lo denominaremos factor integral en tanto que B será
el factor integral, esto debido a las derivaciones e integraciones sucesivas que se realizan
en cada paso (o proceso de iteración) a considerar.
2.3. Variantes del método de traspasos
Los traspasos pueden ser realizados de dos maneras, de A a B o de B a A, así como
también es posible considerar un proceso mixto de ambos, pero por el momento solo
consideraremos los dos primeros casos y dejaremos el ultimo para la próxima sección.
2.3.1. Traspaso del factor diferencial al factor integral:
En este primer caso estamos considerando el traspaso de A a B, así pues la función z
expresada como z = AdB esta en su forma natural, e indicamos la regla de formación:
“se saca la derivada dA y se traspasa a B lo que se quiera (sea factor o divisor, constante
o variable), después se integra B (la expresión resultante es B1). Se vuelve a derivar, en
este caso a A1, y se hace el traspaso a B1 en seguida se integra B1 (la expresión resultante
es B2), etc.” En resumen:
Primer paso: no efectuamos ninguna operación, tan solo escogemos los A y B adecuados
A ⇒ B
Segundo paso: T1 será el término a traspasar
dA = T1 · A1 ⇒ B · T1∂x = B1
Tercer paso: T2 será el nuevo término a traspasar
dA1 = T2 · A2 ⇒ B1 · T2∂x = B2
etc.
Ultimo paso: Colocamos los términos Ai, Bi para obtener el resultado final del proceso
de integración
z = AdB
= ±Ai · Bi; i = 0, 1, . . . , m, (m: n o de pasos y A0 = A, B0 = B)
6

por esta operación se disminuye el cálculo a bondad, puesto que se puede traspasar toda
la variable (pero de modo que se pueda integrar B) así la siguiente diferencial será cero y
por lo tanto se acorta el cálculo.
Ejemplo 2. Sea la función z = x 4 ∂x damos la forma que deseamos z = x 2 · ∂( x3
3 )
luego aplicando la regla de formación:
Primer paso: no efectuamos ninguna operación, tan solo identificamos A y B
A ⇒ B
Segundo paso: T1 será el término a traspasar
x3 x5
dA = x · 2 = T1 · A1 ⇒ · x∂x = = B1
3 15
Tercer paso: T2 será el nuevo término a traspasar, pero notemos que
dA1 = ∂(2) = 0, puesto que la derivada es nula, paramos el proceso.
Ultimo paso: Colocamos los términos A0, A1, B0, B1 para obtener el resultado final del
proceso de integración:
z = x 4 ∂x
= A0 · B0 − A1 · B1
= x 2 · x3
3
= x5
5
− 2 · x5
15
2.3.2. Traspaso del factor integral al factor diferencial:
En este segundo caso estamos considerando el traspaso de B a A, así pues la función
z expresada como z = AdB esta en su forma natural, e indicamos la regla de formación:
“se saca la derivada dA y se traspasa lo que se quiera de B, después se integra B (la
expresión resultante es B1). Se vuelve a derivar, en este caso a A1 (expresión que resulta
de multiplicar la derivada de A por el termino traspasado de B), y se traspasa lo que se
desea de B1 en seguida se integra B1 (la expresión resultante es B2), etc.” En resumen:
Primer paso: no efectuamos ninguna operación, tan solo escogemos los A y B adecuados
A ⇒ B
Segundo paso: donde B = T1 · B ∗ 1 y T1 es el término traspasado a dA
dA · T1 = A1 ⇒
B ∗ 1∂x = B1
Tercer paso: donde B1 = T2 · B ∗ 2 y T2 es el término traspasado a dA1
dA1 · T2 = A2 ⇒
etc.
B ∗ 2∂x = B2
7

Ultimo paso: Colocamos los términos Ai, Bi para obtener el resultado final del proceso
de integración
z =
AdB
= ±Ai · Bi; i = 0, 1, . . . , m, (m: n o de pasos y A0 = A, B0 = B)
Ejemplo 3. Sea la función z = x 4 dx damos la forma que deseamos z = x 2 · d( x3
3 )
luego aplicando la nueva regla de formación:
Primer paso: no efectuamos ninguna operación, tan solo identificamos A y B
Segundo paso: donde B = T1 · B ∗ 1
Tercer paso: donde B1 = T2 · B ∗ 2
A ⇒ B
dA · T1 = 2x · x = 2x 2
⇒
dA1 · T2 = 2 2 x · x = 2 2 x 2 = A2 ⇒
= x · x2
3 y T1 es el término traspasado a dA
B ∗
x2 1dx =
3
x3
= = B1
32 = x · x2
3 2 y T2 = x es el término traspasado a dA1.
B ∗
x2 2dx =
3
3
x3
= = B2
2 3
siguiendo de forma similar obtendremos una serie infinita (no siempre es el caso)
Ultimo paso: Colocamos los terminos Ai, Bi (aquí A0 = A, B0 = B), para obtener el
resultado final del proceso de integración:
z =
AdB
= A0 · B0 − A1 · B1 + A2 · B2 · · ·
= x5
3
− 2x5
3 2 + 22 x 5
3 3 − 23 x 5
3 4 · · ·
Este ejemplo muestra que dada una integral esta puede ser aproximada por una serie
infinita, para nuestro caso dicha serie converge a x5
5 , así suponiendo x = 1 se tiene:
1 1
=
5 3
− 2
3
3
22 23
+ − 2 3
· · ·
34 en efecto, siendo esta progresión geométrica decreciente (cuya razón es −2
3 ) tendremos:
1
3
1 + 2
3
En la siguiente sección presentamos una mistura de los métodos anteriores y finalizamos
con una aplicación de tal proceso (misturado), así también se da una observación sobre
exponentes negativos.
8
= 1
5

3. Aplicación del método de traspasos
En esta sección daremos una aplicación del método de traspasos de Federico Villarreal,
pero antes presentamos una generalidad sobre el método, éste no es otra cosa mas que una
mistura de los casos señalados en la anterior sección.
3.1. Generalidad de los traspasos
Siendo los traspasos arbitrarios, se pueden hacer continuamente de A a B o de B a A
o bien primero de A a B y después de B a A, ya sea alternándolos, siguiendo de dos en
dos, de tres en tres, dejando de hacer traspasos al capricho del calculador. En cualquiera
de estos casos siempre se obtendá integración exacta (siempre que se consiga un coeficiente
diferencial nulo), por consiguiente la fórmula propuesta es una expresión general de la
integración por partes.
Ejemplo 4. Integraremos la función x4 usando trapasos alternados:
z = x 4
∂x = x 2 × ∂( x3
3 )
aplicando el método para A = x 2 y B = x3
3
A0 = x 2
tenemos en cada caso:
B0 = x3
3
derivamos A0 y traspasamos el factor integral x de B0 e intragamos lo sobrante de B0
A1 = 2x 2
B1 = x3
9
derivamos A1 y traspasamos el factor integral x de B1 e intragamos lo sobrante de B1
A2 = 4x 2
B2 = x3
27
derivamos A2 y traspasamos el factor integral x de B2 e intragamos lo sobrante de B2
A3 = 8x 2
derivamos A3 e integramos B3 sin efectuar trapaso alguno
B3 = x3
81
A4 = 16x B4 = x4
324
derivamos A4 e integramos B4 sin efectuar trapaso alguno
A5 = 16 B5 = x5
1620
dado que la próxima derivada será nula paramos el proceso,de modo que
z = x5
3
− 2x5
9
+ 4x5
27
9
− 8x5
81
+ 4x5
81
− 4x5
405
z = x5
5

3.2. Observación sobre exponentes negativos
Si los exponentes son negativos la diferenciación va aumentando el exponente en su
valor absoluto y la integración lo va disminuyendo hasta ser infinita (así pues la integral
es logarítmica), sin embargo en virtud de la teoría de traspasos se puede hacer que la
diferenciación llegue a anularse y por lo mismo se llegue a la integral exacta.
Ejemplo 5. Integraremos la función x4 · ln x la cual puesta en forma adecuada:
x
z = ln x(
.
5
5 )
identificando términos
A0 = ln x B0 = x5
5
derivamos A0 y siendo x en el numerador con exponente negativo lo traspasamos a B0 e
integramos, quedando
A1 = 1 B1 = x5
25
dado que la próxima derivada será nula paramos el proceso,de modo que
z = ln x · x5
5
− x5
25
Ejemplo 6. Integraremos la función x4 pero en esta oportunidad procuramos expresar
el término integral con exponente negativo:
z = x 6 d(−x −1 )
identificando términos
A0 = x 6
B0 = −1
x
derivamos A0 e integramos B0 sin efectuar traspaso alguno
A1 = 6x 5
B1 = − ln x
derivamos A1 y traspasamos el factor diferencial x 4 a B1 e integramos
A2 = 30 B2 =
−x 4 · ln x = −x5 · ln x
5
dado que la próxima derivada será nula paramos el proceso,de modo que
z = −x 5 + 6x 5 · ln x − 6x 5 · ln x + 6x5
5
z = x5
5
10
+ x5
25

3.3. Recursividad para decimales del número π
Es tan general el método que se puede poner una multitud de ejemplos en los cuales
tendría cabida los traspasos. Como muestra de ello veamos la siguiente:
3.3.1. Observación sobre los arcotangentes
Sabemos que la diferencial de un arco x cuya tangente es u tiene por expresión:
∂x = ∂u
1 + u 2
el cual podemos integrar haciendo uso del método de traspasos pues
1
x = · ∂u
1 + u2 identificando términos, podemos aplicar el proceso ya descrito en las secciones anteriores
A0 =
1
1 + u 2
B0 = u
tomando derivada a los Ai, traspasando el factor integral u a Bi e integrando resulta el
siguiente cálculo
A1 = −2 ·
A2 = 2 · 4 ·
1
(1 + u 2 ) 2
A3 = −2 · 4 · 6 ·
A4 = 2 · 4 · 6 · 8 ·
B1 = u3
1 · 3
1
(1 + u 2 ) 3 B2 = u5
1 · 3 · 5
1
(1 + u 2 ) 4
1
(1 + u 2 ) 5
continuando el proceso obtenemos la fórmula recursiva
An = (−1) n ·
i=1
B3 =
B4 =
u7 1 · 3 · 5 · 7
u9 1 · 3 · 5 · 7 · 9
n 1
(2i) ·
(1 + u2 ) n+1 Bn = u2n+1
n
(2i + 1)
Luego multiplicamos los términos Ai, Bi y colocamos los términos de acorde a lo establecido
en el método de traspasos para obtener el resultado final del proceso de integración:
x = u
+
1 + u2 ∞
j
2i
·
2i + 1
tomando factor común, la expresión (3) puede ser reducida a
x = u
1 + u2 ⎧
⎨ ∞
j
1 +
⎩
j=1
j=1
i=1
i=1
i=1
u2j+1 (1 + u2 ) j+1
2i u2 ·
2i + 1 1 + u2
j ⎫ ⎬
⎭
11
(3)
(4)

examinemos si la serie encerrada entre llaves es convergente, para ello utilizamos el criterio
de la razón, por lo que formaremos el cociente del término general con el que le precede
r =
2·4·6···(2n)
u2 3·5·7···(2n+1) 1+u2 n
2·4···2(n−1) u2 3·5···(2n−1) 1+u2 n−1 = 2n
2n + 1 ·
= 2
2 + 1
n
·
u2 1 + u2 1
1 + 1
u2 tomamos límite para n = ∞, resulta
r =
1
1 + 1
u 2
para que la serie sea convergente debemos tener que |r| < 1, así reemplazando la expresión
obtenida en esta condición se tiene que la serie es convergente cualquiera que sea el valor
de u, en particular si esta asume valores pequeños, luego tomando u = 1
z y reemplazando
en (4) tendremos:
x = z
z2
1 +
+ 1
2
3
1
z2 + 1
+ 2 · 4
3 · 5 ·
1
(z2 2 · 4 · · · (2n)
+ · · · +
+ 1) 2 3 · 5 · · · (2n + 1) ·
1
(z2
+ · · ·
+ 1) n
(5)
luego puesto que asumiremos valores pequeños de u la serie anterior es convergente para
valores grandes de z.
3.3.2. Aproximando decimales de π
Para aplicar la fórmula (5) y aproximar decimales de π debemos conocer un arco
(denotado por x) y su tangente (denotado por u), el primero que se presenta es el de
45◦ cuya tangente es la unidad, luego z = 1 y reemplazando en (5) resulta
Arco de 45 ◦ = 1
2
1 + 2 2 · 4
+
2 · 3 22 2 · 4 · 6
+
· 3 · 5 23 + · · · +
· 3 · 5 · 7
2 · 4 · · · (2n)
2n + · · ·
· 3 · 5 · · · (2n + 1)
(6)
“como es poco convergente” descompondremos el arco de 45 ◦ , por lo que buscaremos otros
arcos cuyas tangentes sean menores que uno. Para ello apelamos a una conocida fórmula
trigonométrica:
a + b = 45 ◦
tan a + tan b
⇒ tan (a + b) =
1 − tan a · tan b
= 1
12

tomando tan a = 1/3 tendremos
1
3 + tan b
1 − 1
3
· tan b = 1
⇒ 1
1
+ tan b = 1 − · tan b
3 3
⇒ 4 2
· tan b =
3 3
⇒ tan b = 1
2
así tenemos que el arco de 45 ◦ es igual a la suma de los arcos cuyas tangentes son 1/2, 1/3.
Dividamos ahora el arco cuya tangente es 1/2 en otros dos, así
tan x + tan y
1 − tan x · tan y
= 1
2
tomando tan x = 1/3 (notar que x = a pues tan x = tan a) tendremos
1
3 + tan y
1 − 1
3
· tan y = 1
2
⇒ 1 1 1
+ tan y = − · tan y
3 2 6
⇒ 7 1
· tan y =
6 6
⇒ tan y = 1
7
vemos ahora que el arco de 45◦ es igual a la suma del arco (denotado por y) cuya tangente
es 1/7 más el doble del arco (denotado por x) cuya tangente es 1/3. Luego haciendo z = 3
y z = 7 en (5) tendremos los valores aproximados
x = 3
10 ·
1 + 2
10 · 3
y = 7
50 ·
2 · 4
+
102 2 · 4 · 6
+
· 3 · 5 103 + · · · +
· 3 · 5 · 7
1 + 2 2 · 4
+
50 · 3 502 2 · 4 · 6
+
· 3 · 5 503 + · · · +
· 3 · 5 · 7
finalmente podemos expresar el arco de 45 ◦ como
Arco de 45 ◦ = 2x + y
⇒ π = 8x + 4y
2 · 4 · · · (2n)
(10) n · 3 · 5 · · · (2n + 1)
+ · · ·
2 · 4 · · · (2n)
(50) n + · · ·
· 3 · 5 · · · (2n + 1)
⇒ π = 3, 141592653589793238462643383279502884197169399 · · ·
Haciendo uso de las fórmulas expuestas se puede obtener una mejor aproximación, el grado
de precisión aumenta a medida que se continúe la división en arcos menores. La presente
aproximación es más curiosa que útil, habiendo servido para dar uno de los muchos ejemplos
en que tiene cabida la integración por traspasos.
13

Bibliografía
[1] La Obra del Doctor Federico Villarreal, Godofredo García Díaz. Revista de Ciencias,
año XXVII, 1924 N o 3, 4,5,6. Lima.
[2] Fórmulas y Métodos que Deben Completarse en Matemáticas, Federico Villarreal
Villarreal Tesis de Bachiller, 1879. Lima.
[3] Federico Villarreal Matemático e Ingeniero, Luis Katzuo Watanabe, Ediciones COPÉ
departamento de relaciones públicas PETROPERÚ, 2004. Lima.
[4] Revista de la Facultad de Ciencias Matemáticas, Facultad de Ciencias de la UNMSM,
N o 2, 1988. Lima.
[5] Unidad de Árchivo Histórico Domingo Ángulo UNMSM, Árchivos de la Facultad de
Ciencias 1875,1876,1877,1878,1879,1880,1881.
14

PMJ43-1
Problemas para los más Jóvenes 43
Propuesto por Carlos Hugo Olivera Díaz, Lima, Perú.
ABC es un triángulo rectángulo en B. H es el pie de la altura desde B.
Las medianas que parten de A y B, relativas respectivamente a los
lados BH y HC de los triángulos ABH y HBC, se cortan en el punto M.
Las bisectrices interiores de los ángulos BAH y HBC se cortan en el
punto N. Si α = AMN, β = ANH , determinar el ángulo BHN .
PMJ43-2
Propuesto por Carlos Hugo Olivera Díaz, Lima, Perú.
El triángulo ABC es rectángulo en B, y sea r el radio de su círculo
inscrito. Las bisectrices interiores de los ángulos en A y en C cortan a
sus lados opuestos en N y M, respectivamente. Calcular el área del
triángulo BMN en función de r.
PMJ43-3
Enviado por Juan Jesús Moncada Bolón, San Francisco de Campeche,
México.
En la figura, P y Q son los respectivos puntos medios de los lados de
un cuadrado.

Determinar el cociente entre el área de la región doblemente
sombreada y el área del cuadrado.
PMJ43-4
Enviado por Juan Jesús Moncada Bolón, San Francisco de Campeche,
México.
Se trata de colocar – ante cada uno de los números de la secuencia
siguiente – un signo de suma o de resta:
1 2 3 4 5 6 7 8 … 2006 2007 2008
Encontrar al menos 2008 maneras diferentes de colocar los signos de
manera que el resultado sea 2008.
PMJ43-5
Enviado por Juan Jesús Moncada Bolón, San Francisco de Campeche,
México.
Se considera el menor n tal que 10 2008 divide a n!
Hallar la última cifra distinta de cero de n!.

Luis M. Maraví Zavaleta
Profesor
RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA PJ42 – 3 (Vol. 42 de la REOIM)
I.E. 80915 “Miguel Grau Seminario”, El Pallar, Huamachuco, región de La Libertad, Perú
El valor de c debe corresponder al de un número cuadrado perfecto de una cifra, ya que no es posible
una cifra no entera. De esta manera, el análisis se reduce a cuatro casos:
(i) c = 0
es 100.
(ii) c = 1
(iii) c = 4
(iv) c = 9
En este caso la igualdad es . Elevando al cuadrado cada miembro y despejando
, tenemos que resolver la ecuación , de donde =0 (raíz no aceptada
para las condiciones del problema) o =10 (raíz aceptada). Por lo tanto, el primer valor de
En este caso la igualdad es . Elevando al cuadrado cada miembro y
despejando , se trata de resolver la ecuación , de donde, por razones
análogas a las del primer caso, =12. Por lo tanto, el segundo valor de es 121.
En este caso la igualdad es . Elevando al cuadrado cada miembro y
despejando , se trata de resolver la ecuación , de donde, por razones
análogas a las de los casos anteriores, =14. Por lo tanto, el tercer valor de es 144.
En este caso la igualdad es . Elevando al cuadrado cada miembro y
despejando , se trata de resolver la ecuación , de donde, por razones
análogas a las de los casos anteriores, =16. Por lo tanto, el cuarto valor de es 169.
De esta manera, los números de tres cifras que cumplen con la condición señalada en el
problema son 100, 121, 144 y 169.

Problemas propuestos 211-215
Problema 211
Propuesto por Carlos Hugo Olivera Díaz, Lima, Perú.
Se da un triángulo ABC y la circunferencia exinscrita relativa al lado AC.
Se traza la recta que pasa por el vértice B y por el punto de tangencia, N, de
dicha circunferencia con el lado AC. La recta BN vuelve a cortar en P a la
circunferencia exinscrita. Sean D y E los otros puntos de tangencia de dicha
circunferencia con las rectas que contienen a los lados BC y AB, respectivamente.
M es el punto medio de la cuerda ED. Hallar BP M en función de los elementos
del triángulo ABC.
Problema 212
Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, Ávila, España.
Sea ABC un triángulo y H el pie de la altura desde A (H ∈ BC). DEF G
es el cuadrado inscrito en el triángulo, con el lado DG sobre BC, E en AB y F
en AC. Se consideran los puntos definidos a continuación:
J = AD ∩ HE; K = AG ∩ F H; I, L son las proyecciones ortogonales de
J, K, respectivamente, sobre el lado BC.
Además, M = AD ∩ EF ; N = AG ∩ EF ; R = AG ∩ F L; y S = AD ∩ IE.
Demostrar que:
i) IJKL es un cuadrado cuyo lado se determinará.
ii) Las rectas EI, F L y AH se cortan en un punto P tal que AH = HP.
iii) Las rectas BJ, CK y AH se cortan en el punto medio P ∗ de AH.
iv) Las rectas CN, BM y AH son concurrentes.
v) Los triángulos AKJ, ARS y AGD son semejantes.
Problema 213
Propuesto por Gabriel Alexander Chicas Reyes, El Salvador.
Sea {bn} n ≥ 0 la sucesión definida por b0 = 0, b1 = 1, y para todo n ≥ 2,
2b
bn+1 =
2 n
bn−1 + bn
Demostrar que esta sucesión es convergente.¿Qué se puede decir de su límite?
Problema 214
Propuesto por Pedro Pantoja, Brasil.
Resolver en el conjunto Z la ecuación
3 x+y−2 = 2 x 3 + y 3 + 3 x 2 + y 2 + x + y − 11.
Problema 215
Propuesto por Francisco Javier García Capitán, Priego de Córdoba, España.
Sean α, β, γ tres números complejos cuyo módulo es la unidad, y A, B, C los
puntos del plano de los que son afijos. Sean A ′ B ′ C ′ y A ′′ B ′′ C ′′ los triángulos
órtico y tangencial de ABC. Demostrar que A ′ B ′ C ′ y A ′′ B ′′ C ′′ son homotéticos
y que se cumple la relación
B ′ C ′
B ′′ C
αβγ
= − ′′ (α + β) (β + γ) (γ + α) .
1
.

Solución de Ricard Peiró i Estruch. IES “Abastos” València.
El área del triángulo ABC es:
abc a + b − c
S ABC = = rc
.
4R
2
1 2(
a + b − c)
= .
Rrc
abc
La proposición quedaría probada si
2
2
a + b 2(
a + b − c)
⇔ ≥
⇔
2
abc abc
2 2
a + b
⇔ ≥ 2(
a + b − c)
⇔
c
2 2 2
⇔ a + b + 2c
− 2ac
− 2bc
≥ 0 ⇔
2
2
⇔ ( a − c)
+ ( b − c)
≥ 0 .
Esta última igualdad es cierta.
∆
⎛ a b ⎞ 1 1
⎜ + ⎟ ≥ ⇔
⎝ b a ⎠ c
2 Rrc
Por tanto la proposición es cierta y la igualdad se alcanza cuando a = b = c , es decir,
cuando el triángulo es equilátero.

Problema 207. Se tiene un triángulo ABC y su circunferencia inscrita,
tangente a los lados en los puntos D, E y F, como se indica en la figura.
Por los puntos A ′ , B ′ , C ′ de la circunferencia inscrita se trazan las rectas
tangentes a los arcos FD, DE y EF, respectivamente. Desde los vértices de
ABC se trazan rectas perpendiculares a dichas tangentes (véase igualmente
la figura adjunta). Determinar los puntos de tangencia A ′ ,B ′ y C ′ para que
se cumpla la siguiente condición:
q
a
F
A
A'
a p n
· · = 1.
b q m
m
E
C'
B'
B
n
D
C
Propuesto por Carlos Hugo Olivera Díaz, Lima, Perú
Solución de Francisco Javier García Capitán.
La condición que cumplen las distancias a, b, p, q,m,n indican que el
triángulo UV W formado por las tangentes en A ′ , B ′ , C ′ es perspectivo con
ABC (ver por ejemplo el apartado 179 de Lachlan: An Elementary Treatise
on Modern Pure Geometry).
Sean B ′ , C ′ dos puntos cualesquiera sobre la circunferencia, y sea U el
punto común de las tangentes por B ′ y C ′ Hallemos otro punto A ′ sobre
la circunferencia que forma con B ′ y C ′ el triángulo UV W perspectivo con
ABC.
1
b
p

Para ello, observemos qeu si P1 es un punto arbitrario sobre AU, y
las rectas BP1, CP1 cortan a UC ′ , UB ′ en V1, UW1, respectivamente, los
triángulos UV1W1 y ABC son perspectivos.
S
A
W
F
W1 B'
A'
P
P1 E
C'
V1 B D
C
Según el teorema de Desargues, los puntos V1W1 ∩ BC, W1U ∩ CA y
UV1 ∩ AB están alineados. Pero las rectas W1U y UV1 son fijas, por tanto
también lo son los puntos W1U ∩ CA y UV1 ∩ AB, haciendo fija a la recta
que pasa por los tres puntos. Por tanto el punto S = V1W1 ∩ BC también
es fijo.
Para un punto arbitrario P1 sobre AU, la recta V1W1 no será tangente
a la circunferencia, pero conocido el punto S, bastará trazar la tangente
desde dicho punto (además de la recta BC) para obtener la recta tangente
buscada.
2
U
V

Solución al problema 208 de la REOIM
Álvaro Begué Aguado, Nueva York, USA
Dado que la función coseno sólo toma valores entre -1 y 1, la función que
estamos integrando está acotada entre 2 y 2. La integral estará acotada
entre π 2 y 2π . Basta ahora observar que 2π < π
3
2⋅ , porque
2
3
2 < .
2
Nota: separando las partes en que el coseno es positivo de las partes en
que es negativo, se obtiene una cota inferior mejor que la propuesta:
π 2+ 2
3
, y aplicando la desigualdad de Jensen de manera bastante directa
se obtiene una cota superior mucho mejor que la propuesta: π 3 .

Solución al problema 209
Álvaro Begué
Tomemos la función f(x) := 2x 1+ √
1
+ 2 x y calculemos sus dos primeras
derivadas:
f ′′ (x) =
f ′ (x) = 2 x log(2)−
3·2−1+ 1
√ x log(2)
x 5/2
2 1
√ x log(2)
x 3/2
+2 x log(2) 2 +
2−1+ 1
√ x log(2) 2
Obsérvese que f(x) es convexa (los tres términos de f ′′ (x) son positivos
si x > 0), f(1) = 6 y f ′ (1) = 0. Luego f(x) tiene un único mínimo global en
x = 1, y este es el único valor para el cual f(x) = 6.
1
x 3

PROBLEMA 210, propuesto por Laurentiu Modan, Bucarest, Rumanía
Se lanza 3 veces un dado y se denota con zi, con i ∈ {1, 2, 3}, la variable aleatoria
que da el número de puntos obtenidos en la situación i. Si la probabilidad P (z1 +
z2 = z3) = p ∈ [0, 1], se considera la variable aleatoria
X :
−1 1
p 1 − p
.
Por otra parte, se considera también la variable aleatoria
0 2 3
Y :
.
donde α ∈ (0, 1).
Se pide:
(A) Comparar M(X) y M(Y ).
2 1 α α 4
(B) Estudiar si X e Y son independientes y si están correlacionadas sabiendo
que P (X = 1, Y = 0) = 35
72
y P (X = −1, Y = 2) = 1
72 .
Solución por Daniel Lasaosa Medarde, Universidad Pública de Navarra,
Pamplona, España
(A) Para que Y sea una variable aleatoria, necesitamos que 1 = α + α 2 + 1
α + 1
2
2, es decir α = − 1
2
1
± 1, y como α > 0, ha de ser α = 2 . Claramente,
M(Y ) = 0α + 2α 2 + 3 1 5
=
4 4 .
Al mismo tiempo, tirar 3 dados da un total de 63 = 216 casos posibles, de los que son
favorables aquellos de la forma (a, s − a, s), donde 1 ≤ s ≤ 6 y 1 ≤ a ≤ s − 1. Esto
nos proporciona s−1 valores posibles para a, luego un total de 0+1+2+· · ·+5 = 15
. Luego
casos favorables, con lo que p = 15
216
= 5
72
M(X) = p(−1) + (1 − p)1 = 1 − 2p = 31
36 .
(B) Si X, Y fueran independientes, se tendría que
35
67
= P (X = 1, Y = 0) = P (X = 1) · P (Y = 0) = (1 − p)α =
72 144 ,
claramente falso. Luego X, Y no son independientes. De forma análoga, si X, Y
fueran independientes, también se tendría
1
5
= P (X = −1, Y = 2) = P (X = −1) · P (Y = 2) = p1 =
72 4 288 ,
nuevamente también falso.
1
4 =

Comentario de páginas web y noticias de Congresos 43
XV JAEM en Gijón, España
En el espléndido marco de La Laboral, de Gijón, se han celebrado del
3 al 6 de julio de 2011 las décimoquintas Jornadas sobre el
Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas. Este congreso, que
se celebra cada dos años, se ha convertido en un lugar de encuentro
de una gran mayoría de Profesores de Matemáticas de todos los
niveles para compartir experiencias, escuchar las Conferencias y
Poenecias o participar en los Talleres. Inevitablemente, hay que
elegir, porque muchas de las actividades son simultáneas. El que
suscribe impartió un Taller de Resolución de Problemas (Algunos
métodos de resolución de problemas) y voy a citar algunas de las
actividades en las que estuve presente.
La Profª Mª Encarnación Reyes Iglesias, de la Escuela de Arquitectura
de Valladolid, impartió una de las conferencias invitadas:
Matemáticas, Naturaleza y Arte: Tres mundos interconectados, que
tuvo un gran impacto, porque es un tema que domina a la perfección.
El Prof. Juan Martínez-Tébar Giménez, del IESO Cinxella, de
Chinchilla de Montearagón (Albacete), presentó De Combinatione
(Breve historia de la Combinatoria, de la mano de dos españoles).
Uno de ellos es bien conocido (Raimundo Lulio), pero el otro
(Sebastián Izquierdo) era completamente desconocido para mí, hasta
ese momento.
Alicia Pedreiro Mengotti (IES Monelos de La Coruña) y Covadonga
Rodríguez-Moldes Rey (IES de Mugardos) presentaron muy
brillantemente su lección para un grupo de ESTALMAT Entrando en el
palomar.
Miquel Albertí Palmer (Instituto Vallés, Sabadell) fue otro de los
conferenciantes invitados, con Investigación etnomatemática: más
allá de la línea de Wallace.
Antonio Ledesma López (IES 1 de Requena, Valencia), como
coordinador del Colectivo Frontera de Matemáticas, presentó Poesía
visual y resolución de problemas en torno a la XXIIIª edición del
Open Matemático.
La conferencia de Clausura, a cargo del Grupo Alquerque se titulaba
Si hay Matemáticas, esto es Cultura e hizo las delicias del auditorio.

Antigua Capilla de la Universidad Laboral de Gijón

La cúpula de la Antigua Capilla de La Laboral
Congreso de la Sociedad Belga de Profesores de Matemáticas
de lengua francesa; Bastogne, Bélgica.
La SBPMef ha celebrado su congreso anual del 23 al 25 de agosto de
2011, en esta ocasión en Bastogne, donde el ejército nortemericano
resistió el invernal e infernal asedio del ejército alemán durante la
Segunda Guerra Mundial en la batalla de las Ardenas. La minúscula
ciudad conserva las placas conmemorativas, documentos y la
reproducción de un tanque Sherman en su plaza principal.
El lema del Congreso era Las matemáticas hacen viajar. El que
suscribe presentó una comunicación sobre Algunos problemas de
Geometría del espacio. Aunque este congreso es pequeño, siempre
hay que elegir entre las actividades simultáneas. Y las presentaciones
del veterano profesor Claude Villers (del que publicaremos una en un
próximo número de la REOIM) nunca dejan indiferente y siempre
proporcionan ideas muy interesantes para desarrollar en clase. En
este caso se trataba de C’est l’occassion qui….(que se podría traducir
por Érase una vez…) que el autor subraya como una matematización
de lo cotidiano. Tras un diaporama con varias fotos “matemáticas” del
autor, desgranó varios ejemplos de situaciones de la vida real en las
que subyacen problemas matemáticos, y cómo resolverlos.
El Prof. Eric Deridiaux presentó de una manera práctica como
construir, casi artesanalmente, una antena parabólica para captar via
satélite imágenes de Televisión de todo el mundo (más de 2000
canales). L’orientation des antennes de télévision directe par satellite
era el título de su comunicación.

El General Mc Auliffe, defensor de Bastogne
Congreso Elementary Geometry from an Advanced Point of
View, Aveiro, Portugal.
Del 1 al 3 de septiembre se ha celebrado en Aveiro un minicongreso
con el título que antecede a estas líneas, dentro del proyecto Klein y
como casi la última actividad del mismo. Contó con la intervención
del Secretario General del ICMI , Prof. Jaime Carvaho e Silva, de la
Universidad de Coimbra (El desarrollo y el declive de los Elementos
de Euclides en la enseñanza de las Matemáticas); del Prof. Pedro
Duarte de la Univ. de Lisboa (Paisajes de Morse); del Prof. José María
Montesinos (Univ. Complutense; Klein, aritmética fuchsiana y grupos
y nudos de Klein); del Prof. Francisco Santos Leal (Univ. de
Cantabria, Santander, España: Politopos, programación lineal y
complejidad). La contribución del que suscribe fue presentar una
demostración elemental del teorema del ortopolo, de Gheorge
Tzitzeica, descubierta cuando el matemático rumano era un
estudiante de Bachillerato.

Porche de la Universidad de Aveiro.
XXVIª Olimpiada Iberoamericana de Matemática, en Costa
Rica.
Se ha celebrado en Costa Rica, durante la segunda mitad de
septiembre, el Simposio Iberoamericano de Educación Matemática y
la vigésimasexta Olimpiada Iberoamericana de Matemática.
La O.E.I. envió al que suscribe como experto para dar un curso de
Capacitación durante los tres días del Simposio (21-22-23 de
Septiembre), que se celebró en el Hotel Condesa, cerca de Heredia, y
en la sede de San José del Instituto Tecnológico de Costa Rica. En el
curso de capacitación había tres grupos de asistentes (A:Profesores
con poca experiencia en Olimpiadas; B: Profesores con cierta
experiencia en Olimpiadas; y C: estudiantes de las carreras de
matemáticas de las diferentes Universidades del país). Además de mi
persona, también dieron clase en este curso los Prof. José Heber
Nieto, de Maracaibo, y José Antonio Gómez Ortega, de la UNAM de
México. Fueron tres días muy intensos, con sesiones de trabajo
largas, en sesiones de mañana y tarde, pero en mi opinión muy
fructíferas.

Una de las sesiones del grupo A
Concluido el Simposio fuimos trasladados a San José, para colaborar
como Coordinadores de uno de los problemas de la Olimpiada. Todo
el desarrollo de la Olimpiada fue normal, y tanto el Jurado
Internacional como los Coordinadores realizamos nuestro trabajo en
un ambiente de total cordialidad.
El alumno ganador de la Olimpiada fue el jovencísimo peruano Raúl
Chávez, que lleva camino de convertirse en el Terry Tao de
Iberoamérica. Ojalá en el futuro sea uno de los galardonados con la
medalla Fields.

Los medallistas de oro de la Olimpiada
Valladolid, noviembre de 2011.
Francisco Bellot Rosado

Divertimentos matemáticos 43
El primero de los divertimentos de este número es una narración,
original de la Profª Covadonga Rodríguez-Moldes Rey, Profesora de
Matemáticas y Directora del I.E.S. de Mugardos (La Coruña), que
resultó premiada en un concurso de cuentos didácticos para alumnos
y profesores en Galicia.
Es un cuento literario-matemático, y está escrito en gallego, idioma,
como se sabe, muy próximo al portugués, uno de los idiomas oficiales
de la REOIM, y que no hemos traducido.
El segundo divertimento está formado por algunas viñetas capturadas
en Internet, por lo que resultaría casi imposible averiguar la
procedencia real.

LIBERANDO INCÓGNITAS
Hoxe hai unha importante reunión. A Raiña ten convocado ao comité de liberación e hai moita
expectación. Dende que dirixe o país, a Raíña leva feitos moitos cambios, non sempre ben
recibidos polos que antes tiñan o poder, que protestan: "Onde se viu un país coma este!, xa
non hai exército, hai comité de liberación de incógnitas!". E ameazan: "Temos que volver ao
de sempre, hai que derrocar a Raíña, non podemos perder incógnitas e caer nas mans dos
atrapadores de incógnitas".
As incógnitas son elementos moi importantes do país. Están gardadas con vixilancia especial.
Serven para resolver problemas. Nunca se sabe o que pode agochar unha incógnita, só cando
o problema está resolto libérase a incógnita descubríndose o seu valor. A incógnita máis
famosa é X, pero tamén hai Y, Z, a, b, c e outras raras que só se utilizan en certas ocasións.
Así de enrarecido está o ambiente. E aínda non saben o motivo polo que a Raíña ten
convocado ao comité de liberación!
Silencio, fala a Raíña:
"Meus queridos amigos e amigas, membros do comité de liberación: os atrapadores de
incógnitas queren poñernos a proba, esta é a mensaxe que acabo de recibir:
Onte procedemos a atrapar unha incógnita, témola retida seguindo o
procedemento habitual. Calquera intento de rescate pode dar lugar a que a
incógnita se precipite na cova das serpes e desapareza para sempre.
Anunciamos que a nosa intención é a de atrapar tódalas incógnitas que
podamos do voso país para así estar en condicións de resolver por nós
mesmos os problemas e ter o dominio. (Atrapadores de incógnitas)
Ante isto, queridos amigos e amigas, propóñovos actuar con sixilo e intelixencia. Tentaremos
rescatar a incógnita atrapada. Trátase de X. O primeiro é saber onde e como se atopa.
Enviarei especialistas a analizar a situación e mañá de novo reunirémonos para peparar o
rescate".
Esa noite un comando de especialistas obtivo imaxes de X. Efectivamente, estaba sobre a
cova das serpes, vixiada por sete guerreiros, dous ao seu carón e cinco enfronte. Todos en
equilibrio sobre a cova das serpes.

Ao día seguinte a Raiña reúne ao comité de liberación:
“ A situación é delicada pero sinxela, a un lado hai cinco guerreiros e ao outro a x con dous
guerreiros (5=x+2) . Necesitamos actuar con precisión e sincronizadamente nos dous lados.
Basta con eliminar a dous guerreiros a cada lado, despois rescátase X procedendo á súa
liberación e traendo retidos aos tres guerreiros aos que equivale. O rescate será esta noite”.
Chegada a noite o plan desenvolveuse coa precisión que pedía a Raíña: a incógnita foi devolta
ao seu recinto e os tres guerreiros inimigos postos á súa disposición.
Despois deste acontecemento a Raíña chamou a sabios de todo o mundo. Foron varios días de
reunións, discusións e estudos. Agora a Raíña driríxese a tódolos habitantes do país nunha
convocatoria extraordinaria que se espera con moita espectación.
"Queridos amigos e amigas -comeza a falar a Raíña- teño que comunicarvos unha importante
decisión. É froito de profundas reflexións de toda a comunidade de sabios e levará a cambios
moi importantes que mellorarán as condicións de vida e a formación de todos os habitantes do
país. A decisión que tomei é que TODOS VOS CONVIRTADES EN LIBERADORES DE
INCÓGNITAS. A tarefa non será doada, é necesario prepararse a fondo. Contratarei a sabios e
estudosos que nos formarán na arte de liberar incógnitas. A medida que vaiamos aprendendo
usaremos técnicas e utensilios máis complicados. A próxima semana comenzará a formación
para tódolos os habitantes que o desexen, que espero sexa a maioría de todos vós".
E así foi, o chamamento da Raíña foi seguido por habitantes de todas as idades.
Despois de varios días de preparativos comezou a formación.
Un mes despois a Raíña visita as salas de aprendizaxe.
“Maxestade, esta é a sala de 1º grao, aquí están os principiantes que aprenden a liberar as
incógnitas tratando de que quede soa a un lado da balanza mantendo o equilibrio. Pode ver
como agora a un lado da balanza hai dous lilís (elementos de liberación) e ao outro está a x
acompañada dun lilí suxeito a un globo que tira del e da balanza para arriba (2=x-1). Observe
como con coidado colocan un lilí a cada lado da balanza e así a un lado quedan tres lilís e ao
outro queda soa a x pois os dous lilís anuláronse. A x está liberada e o seu valor é 3”.
Satisfeita a Raíña prosegue o percorrido. Entran nunha sala ampla onde hai cadrados de varios
tamaños, lilís e globos polo chan. O ambiente é moi serio. A incógnita X está atrapada
elevada ao cadrado, hai ademais outras cinco X cada unha delas colgada dun globo que as
empuxa para riba pero aferránse ao bambán, ademais hai seis lilís. Ao outro lado da balanza,

non hai nada!, non obstante o bambán está en equilibrio (x 2 -5x+6=0). Levan tempo tratando
de liberar a X . Parece unha empresa complicada.
A Raíña di que quere colaborar pois coñece unha técnica que leu nun libro. Despois de
frenética actividade movendo globos, cadrados e lilís, entre todos conseguen o obxectivo: a x
queda liberada con dúas liberacións posibles! (x=2, x=3).
Remata a visita da Raíña na gran sala de sistemas. Alí están a liberar dúas incógnitas, x e y,
atrapadas conxuntamente en dous lugares distintos. A Raíña asiste emocionada á liberación
das dúas incógnitas e móstrase interesada pola estratexia seguida:
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A Raíña, moi satisfeita do visto, dá por terminada a primeira xornada de visita ás salas de
aprendizaxe A semana próxima visitará outras: a sala das raíces nas que liberan incógnitas
atrapadas en raíces cadradas, a sala exponencial cos famosos “logaritmos”, a sala de Ruffini…
Pensa que moi pronto o país será forte e sabio, estará preparado para liberar incógnitas e
resolver problemas e ela poderá negociar un acordo co país veciño para compartir a formación
adquirida e anular os temibles atrapadores de incógnitas, todo a cambio de que se facilite ao
seu país a ansiada vía de acceso ao mar.
Esa noite, nas súas dependencias, a Raíña ten nas mans o libro Lilavati, que escribiu o mestre
hindú Bhaskara, hai varios séculos, e le: “A quinta parte dun enxame de abellas pousa sobre
unha flor de kadamba, a terceira parte sobre unha flor de silindra. O triplo da diferenza entre
estes dous números voa sobre unha flor de krutxa e unha abella, voa indecisa dunha flor de
Pandanus a un xazmín”. A Raíña pecha os ollos pensando como liberar o número de abellas
do enxame.
En Ares no mes de abril do 2011
Covadonga Rodríguez-Moldes Rey

Algunas viñetas capturadas en Internet
Presentamos a continuación algunas viñetas capturadas en Internet o
recibidas por correo electrónico. La procedencia de cada una es, como
puede suponerse, muy difícil de determinar.
Esta es la verdadera raíz cuadrada….
Las primeras críticas al teorema….

El recibimiento a Steve Jobbs en el Más Allá
La sutil diferencia entre Filosofía y Matemáticas.

Cartas al editor 43
En esta ocasión, nos hacemos eco de dos cartas recibidas.
En la primera, nuestro colaborador Milton Donaire Peña comenta la
de Lucas Martin Andisco publicada en el vol.42 de la REOIM:
“En el número 42 de la REOIM, he visto con mucho interés la
aclaración que nos hace nuestro amigo Lucas Martín Andisco, sobre la
autoría de la demostración del teorema de Pascal. Bien, por el gran
respeto y credibilidad que la comunidad de asesores de olimpiadas
matemáticas le tenemos a la web
http://www.artofproblemsolving.com/ , veo muy conveniente la
aclaración hecha por el Prof. Lucas, y debo agregar que para acertar
sobre la originalidad de la prueba realicé las consultas respectivas con
destacados geómetras de nuestro medio que se encargan de
presentar pruebas originales a teoremas clásicos, entre los cuales,
como todos sabemos, destaca por sus amplias publicaciones
originales nuestro amigo francés Jean Louis Ayme, quien se tomó la
molestia de averiguar sobre la originalidad de la prueba”.
Por lo que a este Editor respecta, este asunto se considera
cerrado.
En la segunda, nuestro también colaborador Raúl A. Simón Elexpuru
(Santiago, Chile), dice:
“Me alegra muchísimo que existan libros como el de María Victoria
Veguín Casas: “Historia de las Matemáticas en la Península Ibérica
(de la Prehistoria al siglo XV)”. Con ellos se demuestra que la
contribución de los pueblos hispánicos a la ciencia – en especial, a la
ciencia matemática – no ha sido nula, como se suele creer. Faltaría
una continuación hasta nuestros días, para terminar de ilustrar esta
tesis.”