Reoim - OEI

examinemos si la serie encerrada entre llaves es convergente, para ello utilizamos el criterio
de la razón, por lo que formaremos el cociente del término general con el que le precede
r =
2·4·6···(2n)
u2 3·5·7···(2n+1) 1+u2 n
2·4···2(n−1) u2 3·5···(2n−1) 1+u2 n−1 = 2n
2n + 1 ·
= 2
2 + 1
n
·
u2 1 + u2 1
1 + 1
u2 tomamos límite para n = ∞, resulta
r =
1
1 + 1
u 2
para que la serie sea convergente debemos tener que |r| < 1, así reemplazando la expresión
obtenida en esta condición se tiene que la serie es convergente cualquiera que sea el valor
de u, en particular si esta asume valores pequeños, luego tomando u = 1
z y reemplazando
en (4) tendremos:
x = z
z2
1 +
+ 1
2
3
1
z2 + 1
+ 2 · 4
3 · 5 ·
1
(z2 2 · 4 · · · (2n)
+ · · · +
+ 1) 2 3 · 5 · · · (2n + 1) ·
1
(z2
+ · · ·
+ 1) n
(5)
luego puesto que asumiremos valores pequeños de u la serie anterior es convergente para
valores grandes de z.
3.3.2. Aproximando decimales de π
Para aplicar la fórmula (5) y aproximar decimales de π debemos conocer un arco
(denotado por x) y su tangente (denotado por u), el primero que se presenta es el de
45◦ cuya tangente es la unidad, luego z = 1 y reemplazando en (5) resulta
Arco de 45 ◦ = 1
2
1 + 2 2 · 4
+
2 · 3 22 2 · 4 · 6
+
· 3 · 5 23 + · · · +
· 3 · 5 · 7
2 · 4 · · · (2n)
2n + · · ·
· 3 · 5 · · · (2n + 1)
(6)
“como es poco convergente” descompondremos el arco de 45 ◦ , por lo que buscaremos otros
arcos cuyas tangentes sean menores que uno. Para ello apelamos a una conocida fórmula
trigonométrica:
a + b = 45 ◦
tan a + tan b
⇒ tan (a + b) =
1 − tan a · tan b
= 1
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