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Procediendo análogamente para la ultima integral:
y = xf(x) − x2
2! f ′ (x) + x3
3! f ′′ (x) − x4
4! f ′′′ (x) + · · · (1)
Si bien es cierto que el factor ∂x se presenta de forma natural, el método no supone
que precisamente deba tomarse ese factor sino cualquier otro, ya que al hacerlo lo
particulariza, esto es la escencia del método de integración por traspasos del Dr.
Federico Villarreal.
2.2. Principio de integración por traspasos
Dada la expresión y = f(x)∂x siempre es posible expresarla en la forma y = A · dB
y sin hacer traspasos de términos, podemos interpretar la fórmula (1) del modo siguiente:
1. Tomar A después diferenciarla y dividir por ∂x, volver a diferenciar y dividir por ∂x,
etc. Es decir, calcular las derivadas sucesivas de A.
2. Tomar B después multiplicarla por ∂x e integrar, volver a multiplicar por ∂x e
integrar, etc. Es decir, calcular las integrales multiples de B.
3. Multiplicar los resultados homólogos y dar los signos mas y menos, es decir
A · B − A ′
· B∂x + A ′′
· B∂x − A ′′′
· B∂x · · ·
Como por la diferenciación va aumentando el coeficiente y disminuyendo el exponente,
cuando este sea cero la derivada es constante y la siguiente será cero, por tanto
en este caso habrá integración exacta. Así también, como por la integración va disminuyendo
el coeficiente y aumentando el exponente resulta que si una integración
es constante la siguiente no será cero, pues al multiplicar por ∂x la integración dará
∂x, pero si el exponente es negativo la integración llegará a ser infinita, y en este
caso la integral (como se sabe) es un logaritmo.
Ejemplo 1. Sea la función x 4 , cuya integral puede ser expresada en formas distintas y
por tanto el factor ∂x no es el único que se presenta de forma natural, así pues:
z =
x 4
∂x =
x 2 × x 2 ∂x =
aplicando el método para A = x 2 y B = x3
3
A = x 2
dA
= 2x
dx
d2A = 2
dx2 d3A = 0
dx3
x 2
× ∂(
x 2
)∂x =
tenemos en cada caso:
5
(
x 2 × ∂( x3
) (2)
3
B = x3
3
B∂x = x4
12
B∂x)∂x = x5
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