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3. Aplicación del método de traspasos
En esta sección daremos una aplicación del método de traspasos de Federico Villarreal,
pero antes presentamos una generalidad sobre el método, éste no es otra cosa mas que una
mistura de los casos señalados en la anterior sección.
3.1. Generalidad de los traspasos
Siendo los traspasos arbitrarios, se pueden hacer continuamente de A a B o de B a A
o bien primero de A a B y después de B a A, ya sea alternándolos, siguiendo de dos en
dos, de tres en tres, dejando de hacer traspasos al capricho del calculador. En cualquiera
de estos casos siempre se obtendá integración exacta (siempre que se consiga un coeficiente
diferencial nulo), por consiguiente la fórmula propuesta es una expresión general de la
integración por partes.
Ejemplo 4. Integraremos la función x4 usando trapasos alternados:
z = x 4
∂x = x 2 × ∂( x3
3 )
aplicando el método para A = x 2 y B = x3
3
A0 = x 2
tenemos en cada caso:
B0 = x3
3
derivamos A0 y traspasamos el factor integral x de B0 e intragamos lo sobrante de B0
A1 = 2x 2
B1 = x3
9
derivamos A1 y traspasamos el factor integral x de B1 e intragamos lo sobrante de B1
A2 = 4x 2
B2 = x3
27
derivamos A2 y traspasamos el factor integral x de B2 e intragamos lo sobrante de B2
A3 = 8x 2
derivamos A3 e integramos B3 sin efectuar trapaso alguno
B3 = x3
81
A4 = 16x B4 = x4
324
derivamos A4 e integramos B4 sin efectuar trapaso alguno
A5 = 16 B5 = x5
1620
dado que la próxima derivada será nula paramos el proceso,de modo que
z = x5
3
− 2x5
9
+ 4x5
27
9
− 8x5
81
+ 4x5
81
− 4x5
405
z = x5
5