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3.3. Recursividad para decimales del número π
Es tan general el método que se puede poner una multitud de ejemplos en los cuales
tendría cabida los traspasos. Como muestra de ello veamos la siguiente:
3.3.1. Observación sobre los arcotangentes
Sabemos que la diferencial de un arco x cuya tangente es u tiene por expresión:
∂x = ∂u
1 + u 2
el cual podemos integrar haciendo uso del método de traspasos pues
1
x = · ∂u
1 + u2 identificando términos, podemos aplicar el proceso ya descrito en las secciones anteriores
A0 =
1
1 + u 2
B0 = u
tomando derivada a los Ai, traspasando el factor integral u a Bi e integrando resulta el
siguiente cálculo
A1 = −2 ·
A2 = 2 · 4 ·
1
(1 + u 2 ) 2
A3 = −2 · 4 · 6 ·
A4 = 2 · 4 · 6 · 8 ·
B1 = u3
1 · 3
1
(1 + u 2 ) 3 B2 = u5
1 · 3 · 5
1
(1 + u 2 ) 4
1
(1 + u 2 ) 5
continuando el proceso obtenemos la fórmula recursiva
An = (−1) n ·
i=1
B3 =
B4 =
u7 1 · 3 · 5 · 7
u9 1 · 3 · 5 · 7 · 9
n 1
(2i) ·
(1 + u2 ) n+1 Bn = u2n+1
n
(2i + 1)
Luego multiplicamos los términos Ai, Bi y colocamos los términos de acorde a lo establecido
en el método de traspasos para obtener el resultado final del proceso de integración:
x = u
+
1 + u2 ∞
j
2i
·
2i + 1
tomando factor común, la expresión (3) puede ser reducida a
x = u
1 + u2 ⎧
⎨ ∞
j
1 +
⎩
j=1
j=1
i=1
i=1
i=1
u2j+1 (1 + u2 ) j+1
2i u2 ·
2i + 1 1 + u2
j ⎫ ⎬
⎭
11
(3)
(4)