Reoim - OEI

tomando tan a = 1/3 tendremos
1
3 + tan b
1 − 1
3
· tan b = 1
⇒ 1
1
+ tan b = 1 − · tan b
3 3
⇒ 4 2
· tan b =
3 3
⇒ tan b = 1
2
así tenemos que el arco de 45 ◦ es igual a la suma de los arcos cuyas tangentes son 1/2, 1/3.
Dividamos ahora el arco cuya tangente es 1/2 en otros dos, así
tan x + tan y
1 − tan x · tan y
= 1
2
tomando tan x = 1/3 (notar que x = a pues tan x = tan a) tendremos
1
3 + tan y
1 − 1
3
· tan y = 1
2
⇒ 1 1 1
+ tan y = − · tan y
3 2 6
⇒ 7 1
· tan y =
6 6
⇒ tan y = 1
7
vemos ahora que el arco de 45◦ es igual a la suma del arco (denotado por y) cuya tangente
es 1/7 más el doble del arco (denotado por x) cuya tangente es 1/3. Luego haciendo z = 3
y z = 7 en (5) tendremos los valores aproximados
x = 3
10 ·
1 + 2
10 · 3
y = 7
50 ·
2 · 4
+
102 2 · 4 · 6
+
· 3 · 5 103 + · · · +
· 3 · 5 · 7
1 + 2 2 · 4
+
50 · 3 502 2 · 4 · 6
+
· 3 · 5 503 + · · · +
· 3 · 5 · 7
finalmente podemos expresar el arco de 45 ◦ como
Arco de 45 ◦ = 2x + y
⇒ π = 8x + 4y
2 · 4 · · · (2n)
(10) n · 3 · 5 · · · (2n + 1)
+ · · ·
2 · 4 · · · (2n)
(50) n + · · ·
· 3 · 5 · · · (2n + 1)
⇒ π = 3, 141592653589793238462643383279502884197169399 · · ·
Haciendo uso de las fórmulas expuestas se puede obtener una mejor aproximación, el grado
de precisión aumenta a medida que se continúe la división en arcos menores. La presente
aproximación es más curiosa que útil, habiendo servido para dar uno de los muchos ejemplos
en que tiene cabida la integración por traspasos.
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