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1. Sobre expresiones susceptibles de generalización
E s bien conocido que las operaciones aritméticas de composición (+, ×, ()n ) y descomposición
(−, ÷, n √ ) cuando son tomadas en forma sucesiva no siempre es posible invertir
el orden en la que se operan. Por ejemplo: a la cantidad a agregarle b y quitarle c es lo
mismo que quitarle primero c y agregarle después b, es decir (a + b) − c = (a − c) + b. Pero
si a la cantidad a se agrega b y se multiplica por c no es lo mismo que multiplicar a por c
y agregar b, es decir: (a + b)c = ac + b sino que debe añadirse bc para obtener el mismo
resultado. Podemos resumir lo mencionado líneas arriba mediante el siguiente principio[2]:
“Cuando hay dos operaciones sucesivas de composición o descomposición, ambas del
mismo orden, se puede invertir su cálculo; pero si son de distinto orden no se puede
cambiar su enunciado sino con cierta condición; más si una o ambas operaciones son
imposibles no es permitida su permutación”
— Federico Villarreal
El anterior principio sirve para mostrar que existen diferentes proposiciones suceptibles
de una expresión general. Es así que el Dr. Villarreal plantea el caso de integración por
partes como uno suceptible de generalización.
1.1. Recordando el método de integración por partes
Pasamos ahora a recordar (brevemente) en que se basa el método de integración por
partes:
1 ro por la regla de la derivada de un producto tenemos
(f(x) · g(x)) ′ = f ′ (x) · g(x) + f(x) · g ′ (x)
2do integrando a ambos lados de la igualdad
⇒ (f(x) · g(x)) ′
∂x = f ′
· g(x)∂x + f(x) · g ′ (x)∂x
3ro usando el hecho que la derivada e integral son operadores inversos y despejando adecuadamente
⇒ f(x) · g ′
(x)∂x = f(x) · g(x) − f ′ (x) · g(x)∂x
A partir de los calculos anteriores y del hecho que una integral y = f(x)∂x sienpre es
posible escribirla como y = A · dB tenemos que esta ultima puede ser expresada como la
combinación de dos términos con signos alternados. Esto da pie a considerar la integración
por partes como suceptible de generalización y a corroborar lo dicho en 1 puesto que
y = f(x)∂x escrita en términos de A, B tomará una forma mas simple o complicada
segun sean A y B escogidos en forma adecuada.
Recordemos tambien que el método de integración por partes puede subdividirse en
dos casos:
• Descomponiendo la función en sumandos: este método es aplicable a funciones racionales,
que descompuestos en sus fracciones parciales se pueden integrar algebraicamente
o por logaritmos o por arco tangentes.
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