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Revista Escolar de la Olimpíada Iberoamericana de Matemática<br />
Número 43 (octubre – diciembre 2011)<br />
ISSN – 1698-277X<br />
ÍNDICE<br />
Artículos, Notas y Lecciones de Preparación olímpica 43<br />
Nota necrológica: Prof. Dr. Luis Davidson San Juan (1921 – 2011)<br />
Moisés Toledo Julián: El método de integración de Federico Villarreal.<br />
Problemas para los más jóvenes 43<br />
Dos problemas (PMJ43-1 y PMJ43-2) propuestos por Carlos Hugo<br />
Olivera Díaz, Lima, Perú.<br />
Tres problemas (PMJ43-3,PMJ43-4 y PMJ43-5) enviados por Juan Jesús<br />
Moncada Bolón, San Francisco de Campeche, México.<br />
Recibidas soluciones a los problemas PJ42-1 y PJ 42-3, por Luis M.<br />
Maraví Zavaleta, Huamachuco, Perú, que presentamos.<br />
Problemas de Nivel Medio y de Olimpiadas 43<br />
Problemas propuestos en la Competición Matemática Mediterránea<br />
2011.<br />
Problemas 43<br />
Problemas propuestos 211 – 215<br />
Problemas resueltos<br />
Problema 21. El Prof. Bruno Salgueiro Fanego nos indica varias fuentes<br />
bibliográficas donde ha aparecido este problema, con anterioridad a la<br />
REOIM. Del exhaustivo material aportado por Salgueiro se desprende<br />
que el origen más probable del problema es la 48ª Olimpiada de Polonia
(1997), donde fue propuesto en su última ronda. El Editor agradece el<br />
esfuerzo realizado de rastreo del origen del problema.<br />
Problema 201. A su debido tiempo se recibieron sendas soluciones a<br />
este problema, por Dones Colmenárez, Barquisimeto, Venezuela, y<br />
Roberto Bosch Cabrera, entonces en La Habana, Cuba, que no fueron<br />
mencionadas en el vol. 42, por lo que el Editor presenta sus excusas a<br />
ambos resolventes.<br />
Recibida una solución del problema 204 por Robinson Alexander Higuita<br />
Díaz, Antioquia, Colombia.<br />
Problema 206<br />
Recibidas soluciones de Kee-Wai Lau, HongKong, China; Daniel Lasaosa<br />
Medarde, Pamplona, España; Ricard Peiró i Estruch, Valencia, España;<br />
Bruno Salgueiro Fanego, Viveiro, España; y el proponente.<br />
Presentamos la solución de Peiró.<br />
Problema 207<br />
Recibidas soluciones de Francisco Javier García Capitán, Priego de<br />
Córdoba, España; Daniel Lasaosa Medarde, Pamplona, España; Cristóbal<br />
Sánchez-Rubio García, Benicassim, España; y el proponente.<br />
Presentamos la solución de García Capitán.<br />
Problema 208<br />
Recibidas soluciones de: Álvaro Begué Aguado, Nueva York, USA; Daniel<br />
Darío Góngora García, Lima, Perú; José Hernández Santiago, Oaxaca,<br />
México; Daniel Lasaosa Medarde, Pamplona, España; Paolo Perfetti,<br />
Universitá degli Studi Tor Vergata, Roma, Italia; Bruno Salgueiro<br />
Fanego, Vivero, España; y el proponente.<br />
Presentamos la solución de Begué.<br />
Problema 209<br />
Recibidas soluciones de: Floro Damián Aranda Ballesteros, Córdoba,<br />
España; Álvaro Begué Aguado, Nueva York, USA; Daniel Darío Góngora<br />
García, Lima, Perú; Kee-Wai Lau, Hong Kong, China; Daniel Lasaosa<br />
Medarde, Pamplona, España; Ricard Peiró i Estruch, Valencia, España;
Paolo Perfetti, Universitá degli Studi Tor Vergata, Roma, Italia; Henry<br />
Alexander Ramírez Bernal, Bogotá, Colombia; Joaquín Rivero Rodríguez,<br />
Zalamea de la Serena, España; Bruno Salgueiro Fanego, Vivero,<br />
España; y los proponentes.<br />
Presentamos la solución de Begué.<br />
Problema 210<br />
Recibidas soluciones de Daniel Lasaosa Medarde, Pamplona, España; y<br />
del proponente.<br />
Presentamos la solución de Lasaosa.<br />
Divertimentos Matemáticos 43<br />
Covadonga Rodríguez-Moldes Rey: Liberando incógnitas.<br />
F. Bellot: Capturado en Internet<br />
Comentario de páginas web y Noticias de Congresos 43<br />
XV JAEM en Gijón (España)<br />
Congreso de la SBPMef en Bastogne (Bélgica)<br />
Congreso Elementary Geometry from an Advanced Point of Vue en<br />
Aveiro (Portugal)<br />
XXVI Olimpiada Iberoamericana de Matemática, en Costa Rica.<br />
Cartas al editor 43<br />
Sobre la prueba de Pascal : Respuesta del Prof. Milton Donaire Peña al<br />
comentario del Prof. Lucas Martín Andisco, publicada en el vol. 42.<br />
Sobre Historia de las Matemática en la Península Ibérica : carta de Raúl<br />
A. Simón Elexpuru, Chile.
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matemáticas Ñandutí<br />
17 de noviembre de 2011<br />
El curso lo convoca la Organización de Estados Iberoamericanos<br />
para la Educación, la Ciencia y la Cultura (<strong>OEI</strong>) en el seno de su<br />
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aquellos países Iberoamericanos que decidan incorporarse al<br />
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la Agencia Española de Cooperación Internacional para el<br />
Desarrollo AECID desarrollan con el fin de apoyar la construcción<br />
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de vocaciones hacia la ciencia y al avance del Programa Metas Educativas 2021.<br />
Además, presta su colaboración el Ministerio de Educación de Paraguay y la Consejería de<br />
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Empezamos en marzo 2012<br />
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REOIM 43<br />
Nota necrológica, por Francisco Bellot<br />
Prof. Dr. Luis Davidson San Juan (1921 – 2011)<br />
Estando en preparación este número 43 de la REOIM nos llega,<br />
a través del correo electrónico, la triste noticia del<br />
fallecimiento, en su querida La Habana, del Prof. Luis<br />
Davidson, pocos días después de habérsele rendido allí un<br />
merecido homenaje con motivo de su nonagésimo<br />
cumpleaños. Agradecemos al Prof. Mario Díaz su amabilidad<br />
para enviarnos el texto del Prof. Carlos Sánchez Fernández, de<br />
la Universidad de La Habana, leído durante dicho homenaje, y<br />
del que nos permitimos tomar algunos datos biográficos del<br />
Prof. Davidson.<br />
Luis Davidson San Juan nació en La Habana el 10 de<br />
septiembre de 1921. En la Universidad de La Habana cursó la<br />
carrera de Ciencias Físico-Matemáticas, doctorándose en 1944<br />
con su tesis Desarrollos en serie de las funciones analíticas.<br />
De 1945 a 1961 impartió sus clases en el Instituto de<br />
Segunda Enseñanza de Matanzas. En 1950 formó parte de la<br />
delegación cubana en el ICM de Harvard, y el curso 1958 – 59<br />
realizó un intercambio con una High School de Nuevo México.<br />
En 1960 es nombrado Inspector Nacional de Matemáticas y en<br />
1966 Coordinador Nacional de Planeamiento e Inspección<br />
Técnica. Desde 1963 organizó los concursos de Matemáticas<br />
para estudiantes de Bachillerato en todo el país y participó<br />
desde 1971 en la Olimpiada Internacional de Matemáticas<br />
como Jefe de la Delegación de Cuba, llegando en 1988 a ser<br />
Vicepresidente del IMO Site Committee ( y a presidir sus<br />
reuniones en 1988, por ausencia del Presidente).<br />
La O.E.I. le concedió en 199 un Diploma como Maestro<br />
Fundador de los Concursos de Matemáticas en Iberoamérica.<br />
La primera vez que coincidí en persona con Luis Davidson fue,<br />
si la memoria no me falla, en Australia en 1988. Conocía, a<br />
través del Prof. Raimundo Reguera, algunas de sus<br />
publicaciones (Los concursos de Matemática, con Félix Recio).<br />
Un año más tarde volví a verle en el Simposio previo a la<br />
Olimpiada Iberoamericana. El mes de Abril, en La Habana,
suele ser caliente. Pero Davidson siempre parecía inmune al<br />
calor ambiental, con su impecable corbata y su traje,<br />
perfectamente planchado. Además de su aspecto,<br />
impresionaba la precisión de su lenguaje, la forma de<br />
transmitir sus conocimientos, propia de un verdadero<br />
maestro. Tras aquellos primeros encuentros, coincidimos a lo<br />
largo de los años siguientes en varias reuniones y congresos :<br />
en 1990, en Waterloo (Canadá), en la 1ª Conferencia de la<br />
Federación Mundial de Competiciones Matemáticas Nacionales<br />
(WFNMC); en 1992, en el ICME de Quebec, donde Davidson<br />
recibió el Premio Paul Erdös de la FNMC. En la siguiente foto<br />
se nos ve al final de una de las sesiones en Quebec.<br />
Y me considero muy afortunado porque, a lo largo de mi<br />
carrera, he sido considerado amigo por muchos matemáticos<br />
ilustres. Entre ellos está, por descontado, Luis Davidson, cuya<br />
tradicional felicitación de Año Nuevo ya no podré recibir más…<br />
En 2009, Davidson me hizo llegar un ejemplar dedicado de su<br />
último libro, Ecuaciones y Matemáticos, Ed. Pueblo y<br />
Educación, 2008. Lo conservo con singular cariño en mi<br />
biblioteca. También tengo el primer volumen de una obra<br />
colectiva (Davidson – Reguera – Frontela – Castro) que<br />
considero tuvo una enorme influencia en la educación
matemática de los estudiantes cubanos: Problemas de<br />
Matemática Elemental, Ed. Pueblo y Educación, 1987. El libro<br />
fue un regalo durante la IMO de Australia de 1988 del otro<br />
pionero, junto a Davidson, de los concursos de Matemáticas<br />
en Cuba, Prof. Raimundo Reguera, fallecido hace varios años.<br />
Sirvan estas breves, pero sinceras, líneas, de homenaje y<br />
recuerdo a un gran matemático, un excelente profesor y una<br />
mejor persona.<br />
Luis, sit tibi terra levis.<br />
Valladolid, noviembre de 2011<br />
Francisco Bellot Rosado
HISTORIA DE LA MATEMÁTICA<br />
EN EL PERÚ<br />
ANÁLISIS DE OBRAS<br />
MÉTODO DE INTEGRACIÓN DE<br />
FEDERICO VILLARREAL<br />
Autor: Moisés Samuel Toledo Julián<br />
(el numeros@hotmail.com)
Resumen<br />
Federico Villarreal al presentar su tesis de Bachiller[2] ante la Facultad de Ciencias de<br />
la Universidad Nacional Mayor de San Marcos (Lima–Perú), realizó una observación<br />
notable sobre el método de integración por partes. Dada la importancia del tema,<br />
este será tratado en tres secciones, cada uno de los cuales indicará una subparte de la<br />
misma, los puntos a tratar serán:<br />
1. Sobre expresiones susceptibles de generalización.<br />
2. Método de traspasos.<br />
3. Aplicación del método de traspasos.<br />
Es claro que no describiremos la teoría de integración (en el sentido de riemann), el<br />
presente desarrollo asumirá que el lector posee por lo menos nociones sobre el proceso<br />
de integración.<br />
2
1. Sobre expresiones susceptibles de generalización<br />
E s bien conocido que las operaciones aritméticas de composición (+, ×, ()n ) y descomposición<br />
(−, ÷, n √ ) cuando son tomadas en forma sucesiva no siempre es posible invertir<br />
el orden en la que se operan. Por ejemplo: a la cantidad a agregarle b y quitarle c es lo<br />
mismo que quitarle primero c y agregarle después b, es decir (a + b) − c = (a − c) + b. Pero<br />
si a la cantidad a se agrega b y se multiplica por c no es lo mismo que multiplicar a por c<br />
y agregar b, es decir: (a + b)c = ac + b sino que debe añadirse bc para obtener el mismo<br />
resultado. Podemos resumir lo mencionado líneas arriba mediante el siguiente principio[2]:<br />
“Cuando hay dos operaciones sucesivas de composición o descomposición, ambas del<br />
mismo orden, se puede invertir su cálculo; pero si son de distinto orden no se puede<br />
cambiar su enunciado sino con cierta condición; más si una o ambas operaciones son<br />
imposibles no es permitida su permutación”<br />
— Federico Villarreal<br />
El anterior principio sirve para mostrar que existen diferentes proposiciones suceptibles<br />
de una expresión general. Es así que el Dr. Villarreal plantea el caso de integración por<br />
partes como uno suceptible de generalización.<br />
1.1. Recordando el método de integración por partes<br />
Pasamos ahora a recordar (brevemente) en que se basa el método de integración por<br />
partes:<br />
1 ro por la regla de la derivada de un producto tenemos<br />
(f(x) · g(x)) ′ = f ′ (x) · g(x) + f(x) · g ′ (x)<br />
2do integrando a ambos lados de la igualdad<br />
<br />
⇒ (f(x) · g(x)) ′ <br />
∂x = f ′ <br />
· g(x)∂x + f(x) · g ′ (x)∂x<br />
3ro usando el hecho que la derivada e integral son operadores inversos y despejando adecuadamente<br />
<br />
⇒ f(x) · g ′ <br />
(x)∂x = f(x) · g(x) − f ′ (x) · g(x)∂x<br />
A partir de los calculos anteriores y del hecho que una integral y = f(x)∂x sienpre es<br />
posible escribirla como y = A · dB tenemos que esta ultima puede ser expresada como la<br />
combinación de dos términos con signos alternados. Esto da pie a considerar la integración<br />
por partes como suceptible de generalización y a corroborar lo dicho en 1 puesto que<br />
y = f(x)∂x escrita en términos de A, B tomará una forma mas simple o complicada<br />
segun sean A y B escogidos en forma adecuada.<br />
Recordemos tambien que el método de integración por partes puede subdividirse en<br />
dos casos:<br />
• Descomponiendo la función en sumandos: este método es aplicable a funciones racionales,<br />
que descompuestos en sus fracciones parciales se pueden integrar algebraicamente<br />
o por logaritmos o por arco tangentes.<br />
3
• Descomponiendo la función en factores: aplicable a los demás casos.<br />
Al segundo método se le ha dado (impropiamente) el nombre de integración por partes,<br />
pues aunque los factores pueden considerarse como partes de ese producto, tambien lo<br />
son los sumandos como parte del total. Por tanto a los dos juntos deberían llamarseles<br />
integración por partes, a la primera integración por sumandos y a la segunda integración<br />
por factores.<br />
Habiendo hecho notar los principios sobre los cuales el Dr. Federico Villarreal inicia su<br />
estudio sobre la integración por traspasos, pasamos a describir el método en si.<br />
2. Método de traspasos<br />
Primero haremos notorio algunas observaciones relativas a las técnicas de integración.<br />
2.1. Observaciones:<br />
1. El<br />
<br />
método de integración inmediata tiene sus reglas fijas. La inversa de la derivación:<br />
x3 x ∂x = 4<br />
4 + cte , o tambien √ x∂x = 2<br />
√<br />
3 x3 + cte (cte: constante real)<br />
2. El método de integración por sustitución no posee sus reglas fijas, pues depende de<br />
los casos que se presenten:<br />
a) Para convertir en algebraica una expresión trascendente ln(x + 1) cos x∂x<br />
b) Para bajar el orden de las ecuaciones integrales, para hacerlas homogéneas, etc<br />
(esto constituye parte de la teoria de ecuaciones integrales)<br />
c) Para hacer racional a una función inconmensurable <br />
1<br />
√ x 2 +1 ∂x<br />
3. El método de integración por sumandos tambien tiene sus reglas fijas:<br />
a) Si el denominador de la fracción tiene raíces iguales <br />
b) Si el denominador tiene raíces distintas <br />
∂x<br />
x2 +3x+10<br />
c) Si el denominador tiene raíces imaginarias ∂x<br />
x2 +1<br />
∂x<br />
x 2 −6x+9<br />
4. Sin embargo no se ha hecho lo mismo con la integración por factores, atendiendo a<br />
ello Juan Bernoulli sentó lo que se denomina la base del cálculo integral (en analogía<br />
a lo que el método de Taylor lo es al cálculo diferencial). Así considerando como<br />
factor constante ∂x tenemos:<br />
<br />
y = f(x)∂x<br />
<br />
= xf(x) − f ′ (x)x∂x<br />
Pero<br />
Así<br />
<br />
f ′ (x)x∂x = x2<br />
2 f ′ (x) − 1<br />
<br />
2<br />
f ′′ (x)x 2 ∂x<br />
y = xf(x) − x2<br />
2! f ′ (x) + 1<br />
<br />
2!<br />
4<br />
f ′′ (x)x 2 ∂x
Procediendo análogamente para la ultima integral:<br />
y = xf(x) − x2<br />
2! f ′ (x) + x3<br />
3! f ′′ (x) − x4<br />
4! f ′′′ (x) + · · · (1)<br />
Si bien es cierto que el factor ∂x se presenta de forma natural, el método no supone<br />
que precisamente deba tomarse ese factor sino cualquier otro, ya que al hacerlo lo<br />
particulariza, esto es la escencia del método de integración por traspasos del Dr.<br />
Federico Villarreal.<br />
2.2. Principio de integración por traspasos<br />
Dada la expresión y = f(x)∂x siempre es posible expresarla en la forma y = A · dB<br />
y sin hacer traspasos de términos, podemos interpretar la fórmula (1) del modo siguiente:<br />
1. Tomar A después diferenciarla y dividir por ∂x, volver a diferenciar y dividir por ∂x,<br />
etc. Es decir, calcular las derivadas sucesivas de A.<br />
2. Tomar B después multiplicarla por ∂x e integrar, volver a multiplicar por ∂x e<br />
integrar, etc. Es decir, calcular las integrales multiples de B.<br />
3. Multiplicar los resultados homólogos y dar los signos mas y menos, es decir<br />
A · B − A ′ <br />
· B∂x + A ′′ <br />
· B∂x − A ′′′ <br />
· B∂x · · ·<br />
Como por la diferenciación va aumentando el coeficiente y disminuyendo el exponente,<br />
cuando este sea cero la derivada es constante y la siguiente será cero, por tanto<br />
en este caso habrá integración exacta. Así también, como por la integración va disminuyendo<br />
el coeficiente y aumentando el exponente resulta que si una integración<br />
es constante la siguiente no será cero, pues al multiplicar por ∂x la integración dará<br />
∂x, pero si el exponente es negativo la integración llegará a ser infinita, y en este<br />
caso la integral (como se sabe) es un logaritmo.<br />
Ejemplo 1. Sea la función x 4 , cuya integral puede ser expresada en formas distintas y<br />
por tanto el factor ∂x no es el único que se presenta de forma natural, así pues:<br />
<br />
z =<br />
x 4 <br />
∂x =<br />
x 2 × x 2 ∂x =<br />
aplicando el método para A = x 2 y B = x3<br />
3<br />
A = x 2<br />
dA<br />
= 2x<br />
dx<br />
d2A = 2<br />
dx2 d3A = 0<br />
dx3 <br />
x 2 <br />
× ∂(<br />
x 2 <br />
)∂x =<br />
tenemos en cada caso:<br />
5<br />
<br />
<br />
(<br />
<br />
x 2 × ∂( x3<br />
) (2)<br />
3<br />
B = x3<br />
3<br />
B∂x = x4<br />
12<br />
B∂x)∂x = x5<br />
60
note que no consideramos la cuarta iteración para B puesto que la cuarta iteración para A<br />
fue cero, luego la integral resultante de acuerdo a (3) será:<br />
z = x5<br />
3<br />
− x5<br />
6<br />
+ x5<br />
30<br />
= x5<br />
5<br />
Si bien es cierto la función considerada para la integración es bastante simple, nos permite<br />
hacer notar la recursividad del método y la tendencia a buscar una generalización del mismo<br />
(esto en realidad constituye un caso muy simple del método de traspasos del Dr. Federico<br />
Villarreal, note que si estamos realizando traspasos, con la descripción de la siguiente<br />
sección podrá usted darse cuenta de ello y corroborará que la manera de hacerlo constituye<br />
un caso trivial).<br />
Para fijar notación al término A lo denominaremos factor integral en tanto que B será<br />
el factor integral, esto debido a las derivaciones e integraciones sucesivas que se realizan<br />
en cada paso (o proceso de iteración) a considerar.<br />
2.3. Variantes del método de traspasos<br />
Los traspasos pueden ser realizados de dos maneras, de A a B o de B a A, así como<br />
también es posible considerar un proceso mixto de ambos, pero por el momento solo<br />
consideraremos los dos primeros casos y dejaremos el ultimo para la próxima sección.<br />
2.3.1. Traspaso del factor diferencial al factor integral:<br />
En este primer caso estamos considerando el traspaso de A a B, así pues la función z<br />
expresada como z = AdB esta en su forma natural, e indicamos la regla de formación:<br />
“se saca la derivada dA y se traspasa a B lo que se quiera (sea factor o divisor, constante<br />
o variable), después se integra B (la expresión resultante es B1). Se vuelve a derivar, en<br />
este caso a A1, y se hace el traspaso a B1 en seguida se integra B1 (la expresión resultante<br />
es B2), etc.” En resumen:<br />
Primer paso: no efectuamos ninguna operación, tan solo escogemos los A y B adecuados<br />
A ⇒ B<br />
Segundo paso: T1 será el término a traspasar<br />
<br />
dA = T1 · A1 ⇒ B · T1∂x = B1<br />
Tercer paso: T2 será el nuevo término a traspasar<br />
<br />
dA1 = T2 · A2 ⇒ B1 · T2∂x = B2<br />
etc.<br />
Ultimo paso: Colocamos los términos Ai, Bi para obtener el resultado final del proceso<br />
de integración<br />
<br />
z = AdB<br />
= ±Ai · Bi; i = 0, 1, . . . , m, (m: n o de pasos y A0 = A, B0 = B)<br />
6
por esta operación se disminuye el cálculo a bondad, puesto que se puede traspasar toda<br />
la variable (pero de modo que se pueda integrar B) así la siguiente diferencial será cero y<br />
por lo tanto se acorta el cálculo.<br />
Ejemplo 2. Sea la función z = x 4 ∂x damos la forma que deseamos z = x 2 · ∂( x3<br />
3 )<br />
luego aplicando la regla de formación:<br />
Primer paso: no efectuamos ninguna operación, tan solo identificamos A y B<br />
A ⇒ B<br />
Segundo paso: T1 será el término a traspasar<br />
<br />
x3 x5<br />
dA = x · 2 = T1 · A1 ⇒ · x∂x = = B1<br />
3 15<br />
Tercer paso: T2 será el nuevo término a traspasar, pero notemos que<br />
dA1 = ∂(2) = 0, puesto que la derivada es nula, paramos el proceso.<br />
Ultimo paso: Colocamos los términos A0, A1, B0, B1 para obtener el resultado final del<br />
proceso de integración:<br />
<br />
z = x 4 ∂x<br />
= A0 · B0 − A1 · B1<br />
= x 2 · x3<br />
3<br />
= x5<br />
5<br />
− 2 · x5<br />
15<br />
2.3.2. Traspaso del factor integral al factor diferencial:<br />
En este segundo caso estamos considerando el traspaso de B a A, así pues la función<br />
z expresada como z = AdB esta en su forma natural, e indicamos la regla de formación:<br />
“se saca la derivada dA y se traspasa lo que se quiera de B, después se integra B (la<br />
expresión resultante es B1). Se vuelve a derivar, en este caso a A1 (expresión que resulta<br />
de multiplicar la derivada de A por el termino traspasado de B), y se traspasa lo que se<br />
desea de B1 en seguida se integra B1 (la expresión resultante es B2), etc.” En resumen:<br />
Primer paso: no efectuamos ninguna operación, tan solo escogemos los A y B adecuados<br />
A ⇒ B<br />
Segundo paso: donde B = T1 · B ∗ 1 y T1 es el término traspasado a dA<br />
<br />
dA · T1 = A1 ⇒<br />
B ∗ 1∂x = B1<br />
Tercer paso: donde B1 = T2 · B ∗ 2 y T2 es el término traspasado a dA1<br />
<br />
dA1 · T2 = A2 ⇒<br />
etc.<br />
B ∗ 2∂x = B2<br />
7
Ultimo paso: Colocamos los términos Ai, Bi para obtener el resultado final del proceso<br />
de integración<br />
<br />
z =<br />
AdB<br />
= ±Ai · Bi; i = 0, 1, . . . , m, (m: n o de pasos y A0 = A, B0 = B)<br />
Ejemplo 3. Sea la función z = x 4 dx damos la forma que deseamos z = x 2 · d( x3<br />
3 )<br />
luego aplicando la nueva regla de formación:<br />
Primer paso: no efectuamos ninguna operación, tan solo identificamos A y B<br />
Segundo paso: donde B = T1 · B ∗ 1<br />
Tercer paso: donde B1 = T2 · B ∗ 2<br />
A ⇒ B<br />
dA · T1 = 2x · x = 2x 2 <br />
⇒<br />
dA1 · T2 = 2 2 x · x = 2 2 x 2 = A2 ⇒<br />
= x · x2<br />
3 y T1 es el término traspasado a dA<br />
B ∗ <br />
x2 1dx =<br />
3<br />
x3<br />
= = B1<br />
32 = x · x2<br />
3 2 y T2 = x es el término traspasado a dA1.<br />
<br />
B ∗ <br />
x2 2dx =<br />
3<br />
3<br />
x3<br />
= = B2<br />
2 3<br />
siguiendo de forma similar obtendremos una serie infinita (no siempre es el caso)<br />
Ultimo paso: Colocamos los terminos Ai, Bi (aquí A0 = A, B0 = B), para obtener el<br />
resultado final del proceso de integración:<br />
<br />
z =<br />
AdB<br />
= A0 · B0 − A1 · B1 + A2 · B2 · · ·<br />
= x5<br />
3<br />
− 2x5<br />
3 2 + 22 x 5<br />
3 3 − 23 x 5<br />
3 4 · · ·<br />
Este ejemplo muestra que dada una integral esta puede ser aproximada por una serie<br />
infinita, para nuestro caso dicha serie converge a x5<br />
5 , así suponiendo x = 1 se tiene:<br />
1 1<br />
=<br />
5 3<br />
− 2<br />
3<br />
3<br />
22 23<br />
+ − 2 3<br />
· · ·<br />
34 en efecto, siendo esta progresión geométrica decreciente (cuya razón es −2<br />
3 ) tendremos:<br />
1<br />
3<br />
1 + 2<br />
3<br />
En la siguiente sección presentamos una mistura de los métodos anteriores y finalizamos<br />
con una aplicación de tal proceso (misturado), así también se da una observación sobre<br />
exponentes negativos.<br />
8<br />
= 1<br />
5
3. Aplicación del método de traspasos<br />
En esta sección daremos una aplicación del método de traspasos de Federico Villarreal,<br />
pero antes presentamos una generalidad sobre el método, éste no es otra cosa mas que una<br />
mistura de los casos señalados en la anterior sección.<br />
3.1. Generalidad de los traspasos<br />
Siendo los traspasos arbitrarios, se pueden hacer continuamente de A a B o de B a A<br />
o bien primero de A a B y después de B a A, ya sea alternándolos, siguiendo de dos en<br />
dos, de tres en tres, dejando de hacer traspasos al capricho del calculador. En cualquiera<br />
de estos casos siempre se obtendá integración exacta (siempre que se consiga un coeficiente<br />
diferencial nulo), por consiguiente la fórmula propuesta es una expresión general de la<br />
integración por partes.<br />
Ejemplo 4. Integraremos la función x4 usando trapasos alternados:<br />
<br />
z = x 4 <br />
∂x = x 2 × ∂( x3<br />
3 )<br />
aplicando el método para A = x 2 y B = x3<br />
3<br />
A0 = x 2<br />
tenemos en cada caso:<br />
B0 = x3<br />
3<br />
derivamos A0 y traspasamos el factor integral x de B0 e intragamos lo sobrante de B0<br />
A1 = 2x 2<br />
B1 = x3<br />
9<br />
derivamos A1 y traspasamos el factor integral x de B1 e intragamos lo sobrante de B1<br />
A2 = 4x 2<br />
B2 = x3<br />
27<br />
derivamos A2 y traspasamos el factor integral x de B2 e intragamos lo sobrante de B2<br />
A3 = 8x 2<br />
derivamos A3 e integramos B3 sin efectuar trapaso alguno<br />
B3 = x3<br />
81<br />
A4 = 16x B4 = x4<br />
324<br />
derivamos A4 e integramos B4 sin efectuar trapaso alguno<br />
A5 = 16 B5 = x5<br />
1620<br />
dado que la próxima derivada será nula paramos el proceso,de modo que<br />
z = x5<br />
3<br />
− 2x5<br />
9<br />
+ 4x5<br />
27<br />
9<br />
− 8x5<br />
81<br />
+ 4x5<br />
81<br />
− 4x5<br />
405<br />
z = x5<br />
5
3.2. Observación sobre exponentes negativos<br />
Si los exponentes son negativos la diferenciación va aumentando el exponente en su<br />
valor absoluto y la integración lo va disminuyendo hasta ser infinita (así pues la integral<br />
es logarítmica), sin embargo en virtud de la teoría de traspasos se puede hacer que la<br />
diferenciación llegue a anularse y por lo mismo se llegue a la integral exacta.<br />
Ejemplo 5. Integraremos la función x4 · ln x la cual puesta en forma adecuada:<br />
<br />
x<br />
z = ln x(<br />
.<br />
5<br />
5 )<br />
identificando términos<br />
A0 = ln x B0 = x5<br />
5<br />
derivamos A0 y siendo x en el numerador con exponente negativo lo traspasamos a B0 e<br />
integramos, quedando<br />
A1 = 1 B1 = x5<br />
25<br />
dado que la próxima derivada será nula paramos el proceso,de modo que<br />
z = ln x · x5<br />
5<br />
− x5<br />
25<br />
Ejemplo 6. Integraremos la función x4 pero en esta oportunidad procuramos expresar<br />
el término integral con exponente negativo:<br />
<br />
z = x 6 d(−x −1 )<br />
identificando términos<br />
A0 = x 6<br />
B0 = −1<br />
x<br />
derivamos A0 e integramos B0 sin efectuar traspaso alguno<br />
A1 = 6x 5<br />
B1 = − ln x<br />
derivamos A1 y traspasamos el factor diferencial x 4 a B1 e integramos<br />
A2 = 30 B2 =<br />
<br />
−x 4 · ln x = −x5 · ln x<br />
5<br />
dado que la próxima derivada será nula paramos el proceso,de modo que<br />
z = −x 5 + 6x 5 · ln x − 6x 5 · ln x + 6x5<br />
5<br />
z = x5<br />
5<br />
10<br />
+ x5<br />
25
3.3. Recursividad para decimales del número π<br />
Es tan general el método que se puede poner una multitud de ejemplos en los cuales<br />
tendría cabida los traspasos. Como muestra de ello veamos la siguiente:<br />
3.3.1. Observación sobre los arcotangentes<br />
Sabemos que la diferencial de un arco x cuya tangente es u tiene por expresión:<br />
∂x = ∂u<br />
1 + u 2<br />
el cual podemos integrar haciendo uso del método de traspasos pues<br />
<br />
1<br />
x = · ∂u<br />
1 + u2 identificando términos, podemos aplicar el proceso ya descrito en las secciones anteriores<br />
A0 =<br />
1<br />
1 + u 2<br />
B0 = u<br />
tomando derivada a los Ai, traspasando el factor integral u a Bi e integrando resulta el<br />
siguiente cálculo<br />
A1 = −2 ·<br />
A2 = 2 · 4 ·<br />
1<br />
(1 + u 2 ) 2<br />
A3 = −2 · 4 · 6 ·<br />
A4 = 2 · 4 · 6 · 8 ·<br />
B1 = u3<br />
1 · 3<br />
1<br />
(1 + u 2 ) 3 B2 = u5<br />
1 · 3 · 5<br />
1<br />
(1 + u 2 ) 4<br />
1<br />
(1 + u 2 ) 5<br />
continuando el proceso obtenemos la fórmula recursiva<br />
An = (−1) n ·<br />
i=1<br />
B3 =<br />
B4 =<br />
u7 1 · 3 · 5 · 7<br />
u9 1 · 3 · 5 · 7 · 9<br />
n 1<br />
(2i) ·<br />
(1 + u2 ) n+1 Bn = u2n+1<br />
n<br />
(2i + 1)<br />
Luego multiplicamos los términos Ai, Bi y colocamos los términos de acorde a lo establecido<br />
en el método de traspasos para obtener el resultado final del proceso de integración:<br />
x = u<br />
+<br />
1 + u2 ∞<br />
<br />
j <br />
2i<br />
·<br />
2i + 1<br />
tomando factor común, la expresión (3) puede ser reducida a<br />
x = u<br />
1 + u2 ⎧<br />
⎨ ∞<br />
<br />
j<br />
1 +<br />
⎩<br />
j=1<br />
j=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
u2j+1 (1 + u2 ) j+1<br />
<br />
<br />
2i u2 ·<br />
2i + 1 1 + u2 <br />
j ⎫ ⎬<br />
⎭<br />
11<br />
(3)<br />
(4)
examinemos si la serie encerrada entre llaves es convergente, para ello utilizamos el criterio<br />
de la razón, por lo que formaremos el cociente del término general con el que le precede<br />
r =<br />
2·4·6···(2n)<br />
<br />
u2 3·5·7···(2n+1) 1+u2 n <br />
2·4···2(n−1) u2 3·5···(2n−1) 1+u2 n−1 = 2n<br />
2n + 1 ·<br />
= 2<br />
2 + 1<br />
n<br />
·<br />
u2 1 + u2 1<br />
1 + 1<br />
u2 tomamos límite para n = ∞, resulta<br />
r =<br />
1<br />
1 + 1<br />
u 2<br />
para que la serie sea convergente debemos tener que |r| < 1, así reemplazando la expresión<br />
obtenida en esta condición se tiene que la serie es convergente cualquiera que sea el valor<br />
de u, en particular si esta asume valores pequeños, luego tomando u = 1<br />
z y reemplazando<br />
en (4) tendremos:<br />
x = z<br />
z2 <br />
1 +<br />
+ 1<br />
2<br />
3<br />
1<br />
z2 + 1<br />
+ 2 · 4<br />
3 · 5 ·<br />
1<br />
(z2 2 · 4 · · · (2n)<br />
+ · · · +<br />
+ 1) 2 3 · 5 · · · (2n + 1) ·<br />
1<br />
(z2 <br />
+ · · ·<br />
+ 1) n<br />
(5)<br />
luego puesto que asumiremos valores pequeños de u la serie anterior es convergente para<br />
valores grandes de z.<br />
3.3.2. Aproximando decimales de π<br />
Para aplicar la fórmula (5) y aproximar decimales de π debemos conocer un arco<br />
(denotado por x) y su tangente (denotado por u), el primero que se presenta es el de<br />
45◦ cuya tangente es la unidad, luego z = 1 y reemplazando en (5) resulta<br />
Arco de 45 ◦ = 1<br />
2<br />
<br />
1 + 2 2 · 4<br />
+<br />
2 · 3 22 2 · 4 · 6<br />
+<br />
· 3 · 5 23 + · · · +<br />
· 3 · 5 · 7<br />
2 · 4 · · · (2n)<br />
2n + · · ·<br />
· 3 · 5 · · · (2n + 1)<br />
(6)<br />
“como es poco convergente” descompondremos el arco de 45 ◦ , por lo que buscaremos otros<br />
arcos cuyas tangentes sean menores que uno. Para ello apelamos a una conocida fórmula<br />
trigonométrica:<br />
a + b = 45 ◦<br />
tan a + tan b<br />
⇒ tan (a + b) =<br />
1 − tan a · tan b<br />
= 1<br />
12
tomando tan a = 1/3 tendremos<br />
1<br />
3 + tan b<br />
1 − 1<br />
3<br />
· tan b = 1<br />
⇒ 1<br />
1<br />
+ tan b = 1 − · tan b<br />
3 3<br />
⇒ 4 2<br />
· tan b =<br />
3 3<br />
⇒ tan b = 1<br />
2<br />
así tenemos que el arco de 45 ◦ es igual a la suma de los arcos cuyas tangentes son 1/2, 1/3.<br />
Dividamos ahora el arco cuya tangente es 1/2 en otros dos, así<br />
tan x + tan y<br />
1 − tan x · tan y<br />
= 1<br />
2<br />
tomando tan x = 1/3 (notar que x = a pues tan x = tan a) tendremos<br />
1<br />
3 + tan y<br />
1 − 1<br />
3<br />
· tan y = 1<br />
2<br />
⇒ 1 1 1<br />
+ tan y = − · tan y<br />
3 2 6<br />
⇒ 7 1<br />
· tan y =<br />
6 6<br />
⇒ tan y = 1<br />
7<br />
vemos ahora que el arco de 45◦ es igual a la suma del arco (denotado por y) cuya tangente<br />
es 1/7 más el doble del arco (denotado por x) cuya tangente es 1/3. Luego haciendo z = 3<br />
y z = 7 en (5) tendremos los valores aproximados<br />
x = 3<br />
10 ·<br />
<br />
1 + 2<br />
10 · 3<br />
y = 7<br />
50 ·<br />
2 · 4<br />
+<br />
102 2 · 4 · 6<br />
+<br />
· 3 · 5 103 + · · · +<br />
· 3 · 5 · 7<br />
<br />
1 + 2 2 · 4<br />
+<br />
50 · 3 502 2 · 4 · 6<br />
+<br />
· 3 · 5 503 + · · · +<br />
· 3 · 5 · 7<br />
finalmente podemos expresar el arco de 45 ◦ como<br />
Arco de 45 ◦ = 2x + y<br />
⇒ π = 8x + 4y<br />
2 · 4 · · · (2n)<br />
(10) n · 3 · 5 · · · (2n + 1)<br />
<br />
+ · · ·<br />
2 · 4 · · · (2n)<br />
(50) n + · · ·<br />
· 3 · 5 · · · (2n + 1)<br />
⇒ π = 3, 141592653589793238462643383279502884197169399 · · ·<br />
Haciendo uso de las fórmulas expuestas se puede obtener una mejor aproximación, el grado<br />
de precisión aumenta a medida que se continúe la división en arcos menores. La presente<br />
aproximación es más curiosa que útil, habiendo servido para dar uno de los muchos ejemplos<br />
en que tiene cabida la integración por traspasos.<br />
13
Bibliografía<br />
[1] La Obra del Doctor Federico Villarreal, Godofredo García Díaz. Revista de Ciencias,<br />
año XXVII, 1924 N o 3, 4,5,6. Lima.<br />
[2] Fórmulas y Métodos que Deben Completarse en Matemáticas, Federico Villarreal<br />
Villarreal Tesis de Bachiller, 1879. Lima.<br />
[3] Federico Villarreal Matemático e Ingeniero, Luis Katzuo Watanabe, Ediciones COPÉ<br />
departamento de relaciones públicas PETROPERÚ, 2004. Lima.<br />
[4] Revista de la Facultad de Ciencias Matemáticas, Facultad de Ciencias de la UNMSM,<br />
N o 2, 1988. Lima.<br />
[5] Unidad de Árchivo Histórico Domingo Ángulo UNMSM, Árchivos de la Facultad de<br />
Ciencias 1875,1876,1877,1878,1879,1880,1881.<br />
14
PMJ43-1<br />
Problemas para los más Jóvenes 43<br />
Propuesto por Carlos Hugo Olivera Díaz, Lima, Perú.<br />
ABC es un triángulo rectángulo en B. H es el pie de la altura desde B.<br />
Las medianas que parten de A y B, relativas respectivamente a los<br />
lados BH y HC de los triángulos ABH y HBC, se cortan en el punto M.<br />
Las bisectrices interiores de los ángulos BAH y HBC se cortan en el<br />
punto N. Si α = AMN, β = ANH , determinar el ángulo BHN .<br />
PMJ43-2<br />
Propuesto por Carlos Hugo Olivera Díaz, Lima, Perú.<br />
El triángulo ABC es rectángulo en B, y sea r el radio de su círculo<br />
inscrito. Las bisectrices interiores de los ángulos en A y en C cortan a<br />
sus lados opuestos en N y M, respectivamente. Calcular el área del<br />
triángulo BMN en función de r.<br />
PMJ43-3<br />
Enviado por Juan Jesús Moncada Bolón, San Francisco de Campeche,<br />
México.<br />
En la figura, P y Q son los respectivos puntos medios de los lados de<br />
un cuadrado.
Determinar el cociente entre el área de la región doblemente<br />
sombreada y el área del cuadrado.<br />
PMJ43-4<br />
Enviado por Juan Jesús Moncada Bolón, San Francisco de Campeche,<br />
México.<br />
Se trata de colocar – ante cada uno de los números de la secuencia<br />
siguiente – un signo de suma o de resta:<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 … 2006 2007 2008<br />
Encontrar al menos 2008 maneras diferentes de colocar los signos de<br />
manera que el resultado sea 2008.<br />
PMJ43-5<br />
Enviado por Juan Jesús Moncada Bolón, San Francisco de Campeche,<br />
México.<br />
Se considera el menor n tal que 10 2008 divide a n!<br />
Hallar la última cifra distinta de cero de n!.
Luis M. Maraví Zavaleta<br />
Profesor<br />
RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA PJ42 – 3 (Vol. 42 de la REOIM)<br />
I.E. 80915 “Miguel Grau Seminario”, El Pallar, Huamachuco, región de La Libertad, Perú<br />
El valor de c debe corresponder al de un número cuadrado perfecto de una cifra, ya que no es posible<br />
una cifra no entera. De esta manera, el análisis se reduce a cuatro casos:<br />
(i) c = 0<br />
es 100.<br />
(ii) c = 1<br />
(iii) c = 4<br />
(iv) c = 9<br />
En este caso la igualdad es . Elevando al cuadrado cada miembro y despejando<br />
, tenemos que resolver la ecuación , de donde =0 (raíz no aceptada<br />
para las condiciones del problema) o =10 (raíz aceptada). Por lo tanto, el primer valor de<br />
En este caso la igualdad es . Elevando al cuadrado cada miembro y<br />
despejando , se trata de resolver la ecuación , de donde, por razones<br />
análogas a las del primer caso, =12. Por lo tanto, el segundo valor de es 121.<br />
En este caso la igualdad es . Elevando al cuadrado cada miembro y<br />
despejando , se trata de resolver la ecuación , de donde, por razones<br />
análogas a las de los casos anteriores, =14. Por lo tanto, el tercer valor de es 144.<br />
En este caso la igualdad es . Elevando al cuadrado cada miembro y<br />
despejando , se trata de resolver la ecuación , de donde, por razones<br />
análogas a las de los casos anteriores, =16. Por lo tanto, el cuarto valor de es 169.<br />
De esta manera, los números de tres cifras que cumplen con la condición señalada en el<br />
problema son 100, 121, 144 y 169.
Problemas propuestos 211-215<br />
Problema 211<br />
Propuesto por Carlos Hugo Olivera Díaz, Lima, Perú.<br />
Se da un triángulo ABC y la circunferencia exinscrita relativa al lado AC.<br />
Se traza la recta que pasa por el vértice B y por el punto de tangencia, N, de<br />
dicha circunferencia con el lado AC. La recta BN vuelve a cortar en P a la<br />
circunferencia exinscrita. Sean D y E los otros puntos de tangencia de dicha<br />
circunferencia con las rectas que contienen a los lados BC y AB, respectivamente.<br />
M es el punto medio de la cuerda ED. Hallar BP M en función de los elementos<br />
del triángulo ABC.<br />
Problema 212<br />
Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, Ávila, España.<br />
Sea ABC un triángulo y H el pie de la altura desde A (H ∈ BC). DEF G<br />
es el cuadrado inscrito en el triángulo, con el lado DG sobre BC, E en AB y F<br />
en AC. Se consideran los puntos definidos a continuación:<br />
J = AD ∩ HE; K = AG ∩ F H; I, L son las proyecciones ortogonales de<br />
J, K, respectivamente, sobre el lado BC.<br />
Además, M = AD ∩ EF ; N = AG ∩ EF ; R = AG ∩ F L; y S = AD ∩ IE.<br />
Demostrar que:<br />
i) IJKL es un cuadrado cuyo lado se determinará.<br />
ii) Las rectas EI, F L y AH se cortan en un punto P tal que AH = HP.<br />
iii) Las rectas BJ, CK y AH se cortan en el punto medio P ∗ de AH.<br />
iv) Las rectas CN, BM y AH son concurrentes.<br />
v) Los triángulos AKJ, ARS y AGD son semejantes.<br />
Problema 213<br />
Propuesto por Gabriel Alexander Chicas Reyes, El Salvador.<br />
Sea {bn} n ≥ 0 la sucesión definida por b0 = 0, b1 = 1, y para todo n ≥ 2,<br />
2b<br />
bn+1 =<br />
2 n<br />
bn−1 + bn<br />
Demostrar que esta sucesión es convergente.¿Qué se puede decir de su límite?<br />
Problema 214<br />
Propuesto por Pedro Pantoja, Brasil.<br />
Resolver en el conjunto Z la ecuación<br />
3 x+y−2 = 2 x 3 + y 3 + 3 x 2 + y 2 + x + y − 11.<br />
Problema 215<br />
Propuesto por Francisco Javier García Capitán, Priego de Córdoba, España.<br />
Sean α, β, γ tres números complejos cuyo módulo es la unidad, y A, B, C los<br />
puntos del plano de los que son afijos. Sean A ′ B ′ C ′ y A ′′ B ′′ C ′′ los triángulos<br />
órtico y tangencial de ABC. Demostrar que A ′ B ′ C ′ y A ′′ B ′′ C ′′ son homotéticos<br />
y que se cumple la relación<br />
B ′ C ′<br />
B ′′ C<br />
αβγ<br />
= − ′′ (α + β) (β + γ) (γ + α) .<br />
1<br />
.
Solución de Ricard Peiró i Estruch. IES “Abastos” València.<br />
El área del triángulo ABC es:<br />
abc a + b − c<br />
S ABC = = rc<br />
.<br />
4R<br />
2<br />
1 2(<br />
a + b − c)<br />
= .<br />
Rrc<br />
abc<br />
La proposición quedaría probada si<br />
2<br />
2<br />
a + b 2(<br />
a + b − c)<br />
⇔ ≥<br />
⇔<br />
2<br />
abc abc<br />
2 2<br />
a + b<br />
⇔ ≥ 2(<br />
a + b − c)<br />
⇔<br />
c<br />
2 2 2<br />
⇔ a + b + 2c<br />
− 2ac<br />
− 2bc<br />
≥ 0 ⇔<br />
2<br />
2<br />
⇔ ( a − c)<br />
+ ( b − c)<br />
≥ 0 .<br />
Esta última igualdad es cierta.<br />
∆<br />
⎛ a b ⎞ 1 1<br />
⎜ + ⎟ ≥ ⇔<br />
⎝ b a ⎠ c<br />
2 Rrc<br />
Por tanto la proposición es cierta y la igualdad se alcanza cuando a = b = c , es decir,<br />
cuando el triángulo es equilátero.
Problema 207. Se tiene un triángulo ABC y su circunferencia inscrita,<br />
tangente a los lados en los puntos D, E y F, como se indica en la figura.<br />
Por los puntos A ′ , B ′ , C ′ de la circunferencia inscrita se trazan las rectas<br />
tangentes a los arcos FD, DE y EF, respectivamente. Desde los vértices de<br />
ABC se trazan rectas perpendiculares a dichas tangentes (véase igualmente<br />
la figura adjunta). Determinar los puntos de tangencia A ′ ,B ′ y C ′ para que<br />
se cumpla la siguiente condición:<br />
q<br />
a<br />
F<br />
A<br />
A'<br />
a p n<br />
· · = 1.<br />
b q m<br />
m<br />
E<br />
C'<br />
B'<br />
B<br />
n<br />
D<br />
C<br />
Propuesto por Carlos Hugo Olivera Díaz, Lima, Perú<br />
Solución de Francisco Javier García Capitán.<br />
La condición que cumplen las distancias a, b, p, q,m,n indican que el<br />
triángulo UV W formado por las tangentes en A ′ , B ′ , C ′ es perspectivo con<br />
ABC (ver por ejemplo el apartado 179 de Lachlan: An Elementary Treatise<br />
on Modern Pure Geometry).<br />
Sean B ′ , C ′ dos puntos cualesquiera sobre la circunferencia, y sea U el<br />
punto común de las tangentes por B ′ y C ′ Hallemos otro punto A ′ sobre<br />
la circunferencia que forma con B ′ y C ′ el triángulo UV W perspectivo con<br />
ABC.<br />
1<br />
b<br />
p
Para ello, observemos qeu si P1 es un punto arbitrario sobre AU, y<br />
las rectas BP1, CP1 cortan a UC ′ , UB ′ en V1, UW1, respectivamente, los<br />
triángulos UV1W1 y ABC son perspectivos.<br />
S<br />
A<br />
W<br />
F<br />
W1 B'<br />
A'<br />
P<br />
P1 E<br />
C'<br />
V1 B D<br />
C<br />
Según el teorema de Desargues, los puntos V1W1 ∩ BC, W1U ∩ CA y<br />
UV1 ∩ AB están alineados. Pero las rectas W1U y UV1 son fijas, por tanto<br />
también lo son los puntos W1U ∩ CA y UV1 ∩ AB, haciendo fija a la recta<br />
que pasa por los tres puntos. Por tanto el punto S = V1W1 ∩ BC también<br />
es fijo.<br />
Para un punto arbitrario P1 sobre AU, la recta V1W1 no será tangente<br />
a la circunferencia, pero conocido el punto S, bastará trazar la tangente<br />
desde dicho punto (además de la recta BC) para obtener la recta tangente<br />
buscada.<br />
2<br />
U<br />
V
Solución al problema 208 de la REOIM<br />
Álvaro Begué Aguado, Nueva York, USA<br />
Dado que la función coseno sólo toma valores entre -1 y 1, la función que<br />
estamos integrando está acotada entre 2 y 2. La integral estará acotada<br />
entre π 2 y 2π . Basta ahora observar que 2π < π<br />
3<br />
2⋅ , porque<br />
2<br />
3<br />
2 < .<br />
2<br />
Nota: separando las partes en que el coseno es positivo de las partes en<br />
que es negativo, se obtiene una cota inferior mejor que la propuesta:<br />
π 2+ 2<br />
3<br />
, y aplicando la desigualdad de Jensen de manera bastante directa<br />
se obtiene una cota superior mucho mejor que la propuesta: π 3 .
Solución al problema 209<br />
Álvaro Begué<br />
Tomemos la función f(x) := 2x 1+ √<br />
1<br />
+ 2 x y calculemos sus dos primeras<br />
derivadas:<br />
f ′′ (x) =<br />
f ′ (x) = 2 x log(2)−<br />
3·2−1+ 1<br />
√ x log(2)<br />
x 5/2<br />
2 1<br />
√ x log(2)<br />
x 3/2<br />
+2 x log(2) 2 +<br />
2−1+ 1<br />
√ x log(2) 2<br />
Obsérvese que f(x) es convexa (los tres términos de f ′′ (x) son positivos<br />
si x > 0), f(1) = 6 y f ′ (1) = 0. Luego f(x) tiene un único mínimo global en<br />
x = 1, y este es el único valor para el cual f(x) = 6.<br />
1<br />
x 3
PROBLEMA 210, propuesto por Laurentiu Modan, Bucarest, Rumanía<br />
Se lanza 3 veces un dado y se denota con zi, con i ∈ {1, 2, 3}, la variable aleatoria<br />
que da el número de puntos obtenidos en la situación i. Si la probabilidad P (z1 +<br />
z2 = z3) = p ∈ [0, 1], se considera la variable aleatoria<br />
X :<br />
−1 1<br />
p 1 − p<br />
<br />
.<br />
Por otra parte, se considera también la variable aleatoria<br />
<br />
0 2 3<br />
Y :<br />
.<br />
donde α ∈ (0, 1).<br />
Se pide:<br />
(A) Comparar M(X) y M(Y ).<br />
2 1 α α 4<br />
(B) Estudiar si X e Y son independientes y si están correlacionadas sabiendo<br />
que P (X = 1, Y = 0) = 35<br />
72<br />
y P (X = −1, Y = 2) = 1<br />
72 .<br />
Solución por Daniel Lasaosa Medarde, Universidad Pública de Navarra,<br />
Pamplona, España<br />
(A) Para que Y sea una variable aleatoria, necesitamos que 1 = α + α 2 + 1<br />
α + 1<br />
2<br />
2, es decir α = − 1<br />
2<br />
1<br />
± 1, y como α > 0, ha de ser α = 2 . Claramente,<br />
M(Y ) = 0α + 2α 2 + 3 1 5<br />
=<br />
4 4 .<br />
Al mismo tiempo, tirar 3 dados da un total de 63 = 216 casos posibles, de los que son<br />
favorables aquellos de la forma (a, s − a, s), donde 1 ≤ s ≤ 6 y 1 ≤ a ≤ s − 1. Esto<br />
nos proporciona s−1 valores posibles para a, luego un total de 0+1+2+· · ·+5 = 15<br />
. Luego<br />
casos favorables, con lo que p = 15<br />
216<br />
= 5<br />
72<br />
M(X) = p(−1) + (1 − p)1 = 1 − 2p = 31<br />
36 .<br />
(B) Si X, Y fueran independientes, se tendría que<br />
35<br />
67<br />
= P (X = 1, Y = 0) = P (X = 1) · P (Y = 0) = (1 − p)α =<br />
72 144 ,<br />
claramente falso. Luego X, Y no son independientes. De forma análoga, si X, Y<br />
fueran independientes, también se tendría<br />
1<br />
5<br />
= P (X = −1, Y = 2) = P (X = −1) · P (Y = 2) = p1 =<br />
72 4 288 ,<br />
nuevamente también falso.<br />
1<br />
4 =
Comentario de páginas web y noticias de Congresos 43<br />
XV JAEM en Gijón, España<br />
En el espléndido marco de La Laboral, de Gijón, se han celebrado del<br />
3 al 6 de julio de 2011 las décimoquintas Jornadas sobre el<br />
Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas. Este congreso, que<br />
se celebra cada dos años, se ha convertido en un lugar de encuentro<br />
de una gran mayoría de Profesores de Matemáticas de todos los<br />
niveles para compartir experiencias, escuchar las Conferencias y<br />
Poenecias o participar en los Talleres. Inevitablemente, hay que<br />
elegir, porque muchas de las actividades son simultáneas. El que<br />
suscribe impartió un Taller de Resolución de Problemas (Algunos<br />
métodos de resolución de problemas) y voy a citar algunas de las<br />
actividades en las que estuve presente.<br />
La Profª Mª Encarnación Reyes Iglesias, de la Escuela de Arquitectura<br />
de Valladolid, impartió una de las conferencias invitadas:<br />
Matemáticas, Naturaleza y Arte: Tres mundos interconectados, que<br />
tuvo un gran impacto, porque es un tema que domina a la perfección.<br />
El Prof. Juan Martínez-Tébar Giménez, del IESO Cinxella, de<br />
Chinchilla de Montearagón (Albacete), presentó De Combinatione<br />
(Breve historia de la Combinatoria, de la mano de dos españoles).<br />
Uno de ellos es bien conocido (Raimundo Lulio), pero el otro<br />
(Sebastián Izquierdo) era completamente desconocido para mí, hasta<br />
ese momento.<br />
Alicia Pedreiro Mengotti (IES Monelos de La Coruña) y Covadonga<br />
Rodríguez-Moldes Rey (IES de Mugardos) presentaron muy<br />
brillantemente su lección para un grupo de ESTALMAT Entrando en el<br />
palomar.<br />
Miquel Albertí Palmer (Instituto Vallés, Sabadell) fue otro de los<br />
conferenciantes invitados, con Investigación etnomatemática: más<br />
allá de la línea de Wallace.<br />
Antonio Ledesma López (IES 1 de Requena, Valencia), como<br />
coordinador del Colectivo Frontera de Matemáticas, presentó Poesía<br />
visual y resolución de problemas en torno a la XXIIIª edición del<br />
Open Matemático.<br />
La conferencia de Clausura, a cargo del Grupo Alquerque se titulaba<br />
Si hay Matemáticas, esto es Cultura e hizo las delicias del auditorio.
Antigua Capilla de la Universidad Laboral de Gijón
La cúpula de la Antigua Capilla de La Laboral<br />
Congreso de la Sociedad Belga de Profesores de Matemáticas<br />
de lengua francesa; Bastogne, Bélgica.<br />
La SBPMef ha celebrado su congreso anual del 23 al 25 de agosto de<br />
2011, en esta ocasión en Bastogne, donde el ejército nortemericano<br />
resistió el invernal e infernal asedio del ejército alemán durante la<br />
Segunda Guerra Mundial en la batalla de las Ardenas. La minúscula<br />
ciudad conserva las placas conmemorativas, documentos y la<br />
reproducción de un tanque Sherman en su plaza principal.<br />
El lema del Congreso era Las matemáticas hacen viajar. El que<br />
suscribe presentó una comunicación sobre Algunos problemas de<br />
Geometría del espacio. Aunque este congreso es pequeño, siempre<br />
hay que elegir entre las actividades simultáneas. Y las presentaciones<br />
del veterano profesor Claude Villers (del que publicaremos una en un<br />
próximo número de la REOIM) nunca dejan indiferente y siempre<br />
proporcionan ideas muy interesantes para desarrollar en clase. En<br />
este caso se trataba de C’est l’occassion qui….(que se podría traducir<br />
por Érase una vez…) que el autor subraya como una matematización<br />
de lo cotidiano. Tras un diaporama con varias fotos “matemáticas” del<br />
autor, desgranó varios ejemplos de situaciones de la vida real en las<br />
que subyacen problemas matemáticos, y cómo resolverlos.<br />
El Prof. Eric Deridiaux presentó de una manera práctica como<br />
construir, casi artesanalmente, una antena parabólica para captar via<br />
satélite imágenes de Televisión de todo el mundo (más de 2000<br />
canales). L’orientation des antennes de télévision directe par satellite<br />
era el título de su comunicación.
El General Mc Auliffe, defensor de Bastogne<br />
Congreso Elementary Geometry from an Advanced Point of<br />
View, Aveiro, Portugal.<br />
Del 1 al 3 de septiembre se ha celebrado en Aveiro un minicongreso<br />
con el título que antecede a estas líneas, dentro del proyecto Klein y<br />
como casi la última actividad del mismo. Contó con la intervención<br />
del Secretario General del ICMI , Prof. Jaime Carvaho e Silva, de la<br />
Universidad de Coimbra (El desarrollo y el declive de los Elementos<br />
de Euclides en la enseñanza de las Matemáticas); del Prof. Pedro<br />
Duarte de la Univ. de Lisboa (Paisajes de Morse); del Prof. José María<br />
Montesinos (Univ. Complutense; Klein, aritmética fuchsiana y grupos<br />
y nudos de Klein); del Prof. Francisco Santos Leal (Univ. de<br />
Cantabria, Santander, España: Politopos, programación lineal y<br />
complejidad). La contribución del que suscribe fue presentar una<br />
demostración elemental del teorema del ortopolo, de Gheorge<br />
Tzitzeica, descubierta cuando el matemático rumano era un<br />
estudiante de Bachillerato.
Porche de la Universidad de Aveiro.<br />
XXVIª Olimpiada Iberoamericana de Matemática, en Costa<br />
Rica.<br />
Se ha celebrado en Costa Rica, durante la segunda mitad de<br />
septiembre, el Simposio Iberoamericano de Educación Matemática y<br />
la vigésimasexta Olimpiada Iberoamericana de Matemática.<br />
La O.E.I. envió al que suscribe como experto para dar un curso de<br />
Capacitación durante los tres días del Simposio (21-22-23 de<br />
Septiembre), que se celebró en el Hotel Condesa, cerca de Heredia, y<br />
en la sede de San José del Instituto Tecnológico de Costa Rica. En el<br />
curso de capacitación había tres grupos de asistentes (A:Profesores<br />
con poca experiencia en Olimpiadas; B: Profesores con cierta<br />
experiencia en Olimpiadas; y C: estudiantes de las carreras de<br />
matemáticas de las diferentes Universidades del país). Además de mi<br />
persona, también dieron clase en este curso los Prof. José Heber<br />
Nieto, de Maracaibo, y José Antonio Gómez Ortega, de la UNAM de<br />
México. Fueron tres días muy intensos, con sesiones de trabajo<br />
largas, en sesiones de mañana y tarde, pero en mi opinión muy<br />
fructíferas.
Una de las sesiones del grupo A<br />
Concluido el Simposio fuimos trasladados a San José, para colaborar<br />
como Coordinadores de uno de los problemas de la Olimpiada. Todo<br />
el desarrollo de la Olimpiada fue normal, y tanto el Jurado<br />
Internacional como los Coordinadores realizamos nuestro trabajo en<br />
un ambiente de total cordialidad.<br />
El alumno ganador de la Olimpiada fue el jovencísimo peruano Raúl<br />
Chávez, que lleva camino de convertirse en el Terry Tao de<br />
Iberoamérica. Ojalá en el futuro sea uno de los galardonados con la<br />
medalla Fields.
Los medallistas de oro de la Olimpiada<br />
Valladolid, noviembre de 2011.<br />
Francisco Bellot Rosado
Divertimentos matemáticos 43<br />
El primero de los divertimentos de este número es una narración,<br />
original de la Profª Covadonga Rodríguez-Moldes Rey, Profesora de<br />
Matemáticas y Directora del I.E.S. de Mugardos (La Coruña), que<br />
resultó premiada en un concurso de cuentos didácticos para alumnos<br />
y profesores en Galicia.<br />
Es un cuento literario-matemático, y está escrito en gallego, idioma,<br />
como se sabe, muy próximo al portugués, uno de los idiomas oficiales<br />
de la REOIM, y que no hemos traducido.<br />
El segundo divertimento está formado por algunas viñetas capturadas<br />
en Internet, por lo que resultaría casi imposible averiguar la<br />
procedencia real.
LIBERANDO INCÓGNITAS<br />
Hoxe hai unha importante reunión. A Raiña ten convocado ao comité de liberación e hai moita<br />
expectación. Dende que dirixe o país, a Raíña leva feitos moitos cambios, non sempre ben<br />
recibidos polos que antes tiñan o poder, que protestan: "Onde se viu un país coma este!, xa<br />
non hai exército, hai comité de liberación de incógnitas!". E ameazan: "Temos que volver ao<br />
de sempre, hai que derrocar a Raíña, non podemos perder incógnitas e caer nas mans dos<br />
atrapadores de incógnitas".<br />
As incógnitas son elementos moi importantes do país. Están gardadas con vixilancia especial.<br />
Serven para resolver problemas. Nunca se sabe o que pode agochar unha incógnita, só cando<br />
o problema está resolto libérase a incógnita descubríndose o seu valor. A incógnita máis<br />
famosa é X, pero tamén hai Y, Z, a, b, c e outras raras que só se utilizan en certas ocasións.<br />
Así de enrarecido está o ambiente. E aínda non saben o motivo polo que a Raíña ten<br />
convocado ao comité de liberación!<br />
Silencio, fala a Raíña:<br />
"Meus queridos amigos e amigas, membros do comité de liberación: os atrapadores de<br />
incógnitas queren poñernos a proba, esta é a mensaxe que acabo de recibir:<br />
Onte procedemos a atrapar unha incógnita, témola retida seguindo o<br />
procedemento habitual. Calquera intento de rescate pode dar lugar a que a<br />
incógnita se precipite na cova das serpes e desapareza para sempre.<br />
Anunciamos que a nosa intención é a de atrapar tódalas incógnitas que<br />
podamos do voso país para así estar en condicións de resolver por nós<br />
mesmos os problemas e ter o dominio. (Atrapadores de incógnitas)<br />
Ante isto, queridos amigos e amigas, propóñovos actuar con sixilo e intelixencia. Tentaremos<br />
rescatar a incógnita atrapada. Trátase de X. O primeiro é saber onde e como se atopa.<br />
Enviarei especialistas a analizar a situación e mañá de novo reunirémonos para peparar o<br />
rescate".<br />
Esa noite un comando de especialistas obtivo imaxes de X. Efectivamente, estaba sobre a<br />
cova das serpes, vixiada por sete guerreiros, dous ao seu carón e cinco enfronte. Todos en<br />
equilibrio sobre a cova das serpes.
Ao día seguinte a Raiña reúne ao comité de liberación:<br />
“ A situación é delicada pero sinxela, a un lado hai cinco guerreiros e ao outro a x con dous<br />
guerreiros (5=x+2) . Necesitamos actuar con precisión e sincronizadamente nos dous lados.<br />
Basta con eliminar a dous guerreiros a cada lado, despois rescátase X procedendo á súa<br />
liberación e traendo retidos aos tres guerreiros aos que equivale. O rescate será esta noite”.<br />
Chegada a noite o plan desenvolveuse coa precisión que pedía a Raíña: a incógnita foi devolta<br />
ao seu recinto e os tres guerreiros inimigos postos á súa disposición.<br />
Despois deste acontecemento a Raíña chamou a sabios de todo o mundo. Foron varios días de<br />
reunións, discusións e estudos. Agora a Raíña driríxese a tódolos habitantes do país nunha<br />
convocatoria extraordinaria que se espera con moita espectación.<br />
"Queridos amigos e amigas -comeza a falar a Raíña- teño que comunicarvos unha importante<br />
decisión. É froito de profundas reflexións de toda a comunidade de sabios e levará a cambios<br />
moi importantes que mellorarán as condicións de vida e a formación de todos os habitantes do<br />
país. A decisión que tomei é que TODOS VOS CONVIRTADES EN LIBERADORES DE<br />
INCÓGNITAS. A tarefa non será doada, é necesario prepararse a fondo. Contratarei a sabios e<br />
estudosos que nos formarán na arte de liberar incógnitas. A medida que vaiamos aprendendo<br />
usaremos técnicas e utensilios máis complicados. A próxima semana comenzará a formación<br />
para tódolos os habitantes que o desexen, que espero sexa a maioría de todos vós".<br />
E así foi, o chamamento da Raíña foi seguido por habitantes de todas as idades.<br />
Despois de varios días de preparativos comezou a formación.<br />
Un mes despois a Raíña visita as salas de aprendizaxe.<br />
“Maxestade, esta é a sala de 1º grao, aquí están os principiantes que aprenden a liberar as<br />
incógnitas tratando de que quede soa a un lado da balanza mantendo o equilibrio. Pode ver<br />
como agora a un lado da balanza hai dous lilís (elementos de liberación) e ao outro está a x<br />
acompañada dun lilí suxeito a un globo que tira del e da balanza para arriba (2=x-1). Observe<br />
como con coidado colocan un lilí a cada lado da balanza e así a un lado quedan tres lilís e ao<br />
outro queda soa a x pois os dous lilís anuláronse. A x está liberada e o seu valor é 3”.<br />
Satisfeita a Raíña prosegue o percorrido. Entran nunha sala ampla onde hai cadrados de varios<br />
tamaños, lilís e globos polo chan. O ambiente é moi serio. A incógnita X está atrapada<br />
elevada ao cadrado, hai ademais outras cinco X cada unha delas colgada dun globo que as<br />
empuxa para riba pero aferránse ao bambán, ademais hai seis lilís. Ao outro lado da balanza,
non hai nada!, non obstante o bambán está en equilibrio (x 2 -5x+6=0). Levan tempo tratando<br />
de liberar a X . Parece unha empresa complicada.<br />
A Raíña di que quere colaborar pois coñece unha técnica que leu nun libro. Despois de<br />
frenética actividade movendo globos, cadrados e lilís, entre todos conseguen o obxectivo: a x<br />
queda liberada con dúas liberacións posibles! (x=2, x=3).<br />
Remata a visita da Raíña na gran sala de sistemas. Alí están a liberar dúas incógnitas, x e y,<br />
atrapadas conxuntamente en dous lugares distintos. A Raíña asiste emocionada á liberación<br />
das dúas incógnitas e móstrase interesada pola estratexia seguida:<br />
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A Raíña, moi satisfeita do visto, dá por terminada a primeira xornada de visita ás salas de<br />
aprendizaxe A semana próxima visitará outras: a sala das raíces nas que liberan incógnitas<br />
atrapadas en raíces cadradas, a sala exponencial cos famosos “logaritmos”, a sala de Ruffini…<br />
Pensa que moi pronto o país será forte e sabio, estará preparado para liberar incógnitas e<br />
resolver problemas e ela poderá negociar un acordo co país veciño para compartir a formación<br />
adquirida e anular os temibles atrapadores de incógnitas, todo a cambio de que se facilite ao<br />
seu país a ansiada vía de acceso ao mar.<br />
Esa noite, nas súas dependencias, a Raíña ten nas mans o libro Lilavati, que escribiu o mestre<br />
hindú Bhaskara, hai varios séculos, e le: “A quinta parte dun enxame de abellas pousa sobre<br />
unha flor de kadamba, a terceira parte sobre unha flor de silindra. O triplo da diferenza entre<br />
estes dous números voa sobre unha flor de krutxa e unha abella, voa indecisa dunha flor de<br />
Pandanus a un xazmín”. A Raíña pecha os ollos pensando como liberar o número de abellas<br />
do enxame.<br />
En Ares no mes de abril do 2011<br />
Covadonga Rodríguez-Moldes Rey
Algunas viñetas capturadas en Internet<br />
Presentamos a continuación algunas viñetas capturadas en Internet o<br />
recibidas por correo electrónico. La procedencia de cada una es, como<br />
puede suponerse, muy difícil de determinar.<br />
Esta es la verdadera raíz cuadrada….<br />
Las primeras críticas al teorema….
El recibimiento a Steve Jobbs en el Más Allá<br />
La sutil diferencia entre Filosofía y Matemáticas.
Cartas al editor 43<br />
En esta ocasión, nos hacemos eco de dos cartas recibidas.<br />
En la primera, nuestro colaborador Milton Donaire Peña comenta la<br />
de Lucas Martin Andisco publicada en el vol.42 de la REOIM:<br />
“En el número 42 de la REOIM, he visto con mucho interés la<br />
aclaración que nos hace nuestro amigo Lucas Martín Andisco, sobre la<br />
autoría de la demostración del teorema de Pascal. Bien, por el gran<br />
respeto y credibilidad que la comunidad de asesores de olimpiadas<br />
matemáticas le tenemos a la web<br />
http://www.artofproblemsolving.com/ , veo muy conveniente la<br />
aclaración hecha por el Prof. Lucas, y debo agregar que para acertar<br />
sobre la originalidad de la prueba realicé las consultas respectivas con<br />
destacados geómetras de nuestro medio que se encargan de<br />
presentar pruebas originales a teoremas clásicos, entre los cuales,<br />
como todos sabemos, destaca por sus amplias publicaciones<br />
originales nuestro amigo francés Jean Louis Ayme, quien se tomó la<br />
molestia de averiguar sobre la originalidad de la prueba”.<br />
Por lo que a este Editor respecta, este asunto se considera<br />
cerrado.<br />
En la segunda, nuestro también colaborador Raúl A. Simón Elexpuru<br />
(Santiago, Chile), dice:<br />
“Me alegra muchísimo que existan libros como el de María Victoria<br />
Veguín Casas: “Historia de las Matemáticas en la Península Ibérica<br />
(de la Prehistoria al siglo XV)”. Con ellos se demuestra que la<br />
contribución de los pueblos hispánicos a la ciencia – en especial, a la<br />
ciencia matemática – no ha sido nula, como se suele creer. Faltaría<br />
una continuación hasta nuestros días, para terminar de ilustrar esta<br />
tesis.”