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Solución de Ricard Peiró i Estruch. IES “Abastos” València.<br />
El área del triángulo ABC es:<br />
abc a + b − c<br />
S ABC = = rc<br />
.<br />
4R<br />
2<br />
1 2(<br />
a + b − c)<br />
= .<br />
Rrc<br />
abc<br />
La proposición quedaría probada si<br />
2<br />
2<br />
a + b 2(<br />
a + b − c)<br />
⇔ ≥<br />
⇔<br />
2<br />
abc abc<br />
2 2<br />
a + b<br />
⇔ ≥ 2(<br />
a + b − c)<br />
⇔<br />
c<br />
2 2 2<br />
⇔ a + b + 2c<br />
− 2ac<br />
− 2bc<br />
≥ 0 ⇔<br />
2<br />
2<br />
⇔ ( a − c)<br />
+ ( b − c)<br />
≥ 0 .<br />
Esta última igualdad es cierta.<br />
∆<br />
⎛ a b ⎞ 1 1<br />
⎜ + ⎟ ≥ ⇔<br />
⎝ b a ⎠ c<br />
2 Rrc<br />
Por tanto la proposición es cierta y la igualdad se alcanza cuando a = b = c , es decir,<br />
cuando el triángulo es equilátero.
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