Medida e incertidumbre

Laboratorio de física
Medida e incertidumbre
Marco Teórico
La Medida
El concepto de medir está relacionado con la acción de comparar una determinada
magnitud contra un "patrón" preestablecido que reúne determinadas
características.
Como es de esperarse, en todo proceso de comparación, existen diversos factores
que escapan al control más riguroso (fluctuaciones estadísticas), lo cual provoca
que en principio ninguna medición sea exactamente igual a la anterior.
Las mediciones consecutivas de una determinada magnitud, en principio pueden
ser muy dispersas o muy parecidas, dependiendo del grado de reproducibilidad de
la medición, lo cual a su vez depende de la calidad del instrumento usado para la
medición y de la habilidad del experimentador.
Precisión y Exactitud
La precisión y exactitud son características propias de un instrumento de
medición. Se entiende por exactitud de un instrumento de medición, al grado de
aproximación de una medida dada por este instrumento comparada con el valor
que se obtendría utilizando un instrumento patrón; es decir un instrumento muy
exacto que da lecturas muy próximas a las "reales" (un instrumento patrón indica
la medida "real").
Por su parte, la precisión de un instrumento, es la medida de la reproducibilidad de
mediciones consecutivas. Es decir, un instrumento de baja precisión, indicará
medidas muy dispersas de una misma magnitud, mientras que un instrumento
muy preciso dará medidas muy similares.
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Exacto y preciso Inexacto pero preciso Impreciso y en promedio exacto
Sensibilidad
Es la relación de la señal de salida o respuesta del instrumento al cambio de la
entrada o variable medida.
Resolución
Es el cambio más pequeño en el valor medido para el cual el instrumento
responde.
Apreciación
Definiremos a la apreciación del instrumento como la menor división en la escala o
la diferencia entre dos mediciones consecutivas.
Para un instrumento análogo es el valor de la mínima división de su escala o la
última cifra significativa reportada en la pantalla (display) si este es digital, esto es
cierto siempre y cuando se hable de la escala mas sensible del instrumento digital.
Por ejemplo la apreciación de una cinta métrica es de 1 mm y para la pesa
corresponde 0,01 g . Consultando las características del instrumento dadas por el
fabricante "Capacity: 100gx 0,01g " significa el rango de medida del instrumento
Incertidumbre
Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendrá, en
general, el mismo resultado, no sólo por causas imponderables como variaciones
imprevistas de las condiciones de medida (temperatura, presión, humedad, etc.)
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sino también por las variaciones en las condiciones de observación del
experimentador.
Cada medida tiene asociada una incertidumbre. Esto determina en la medición un
rango o cota en la cual no se puede asegurar donde está el valor real. Un ejemplo
simple es aquel en el que se mide con una cinta métrica. La medida buscada
puede encontrarse justo en medio de dos de las líneas que me marcan los
milímetros: ¿qué valor se acepta como válido?.
Cuando esto suceda el experimentador debe estimar el valor de la medición. A la
incertidumbre de esta medición se le asignará la mitad de la apreciación.
Por ejemplo, el valor de la medición en la figura sería:
3.25 cm ± 0.05 cm
Aquí como el valor se encontraba entre 3.2 cm y 3.3 cm se estimó el valor x=3.25
cm; además la apreciación del instrumento es 1 mm = 0.1 cm y le asignamos la
mitad del valor a su incertidumbre, ∆x = 0.05 cm.
Con esto decimos que el resultado de una medición tiene tres elementos
fundamentales: su valor más probable o valor medio, su incertidumbre asociada y
sus correspondientes unidades.
En este caso consideramos que el error absoluto coincide con el valor de la
sensibilidad del aparato utilizado para realizar la medida. De este modo el
resultado de una medida lo indicaremos en la forma:
con las unidades que correspondan.
x ± ∆x (.∆x = sensibilidad del instrumento)
Conclusión: Cuando se hace una medida directa del parámetro físico, se toma
como valor de la incertidumbre de la medida la incertidumbre del instrumento.
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Propagación de incertidumbres
x
aparato
En la mayoría de los casos las magnitudes medidas directamente no son el
objetivo final de un experimento, sino un paso necesario para obtener otras
magnitudes relacionadas con ellas mediante alguna dependencia funcional.
En este caso, es necesario conocer la forma en que el grado de incertidumbre se
refleja en el resultado final de las mediciones, es decir cómo se propagan las
incertidumbres individuales de cada medición en el resultado final de la medición.
Si se supone que una magnitud f depende de x, el cálculo del error ∆f a partir del
error directo ∆x se denomina propagación de error. Si el error relativo es pequeño
podemos hacer uso de la siguiente aproximación:
f
f ( x x)
f ( x)
x
f f
x
Supongamos ahora que una magnitud z depende de las magnitudes observadas
(x, y), con x x x
y y y y
, tendremos que z z z
con
y
z f ( x,
y)
z
z
z x
y
x
y
Donde z es la derivada parcial de z con respecto a x evaluada en x x siempre
x
y cuando la variable y se mantenga constante.
Ejemplo, si se quiere medir el volumen de un cilindro y se sabe que su radio es r =
0.5 cm y su altura h = 4.5cm, es bien sabido que su volumen viene dado por V =
πhr 2 =3.5 cm 3 . Pero, si la magnitud h tiene un error de ∆h=0,1cm y r tienen un
error de ∆r=0,01cm, ¿cuál es el error que se comete en el cálculo del volumen?
El valor de ∆V se obtiene de la ecuación:
V
V
V r
h
r
h
Que requiere calcular las derivadas parciales.
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Y por tanto, el error en el volumen es:
Por consiguiente, se tiene que:
V
2hr
14.
1cm
r
V
2
2
r
0.
7cm
h
V
3
3
( 14.
13x0.
01
0.
7x0.
1)
cm 0.
2cm
V ( 3.
5 0.
2)
cm
Tenga presente las cifras significativas de acuerdo a las siguientes reglas
Reglas de operaciones con cifras significativas
Regla 1: Los resultados experimentales se expresan con sólo una cifra dudosa, e
indicando con ± la incertidumbre en la medida.
Regla 2: Las cifras significativas se cuentan de izquierda a derecha, a partir del
primer dígito diferente de cero y hasta el dígito dudoso.
Regla 3: Al sumar o restar dos números decimales, el número de cifras decimales
del resultado es igual al de la cantidad con el menor número de ellas.
Atención: Un caso de especial interés es el de la resta. Citemos el siguiente
ejemplo:
30,3475 – 30,3472 = 0,0003
Observemos que cada una de las cantidades tiene seis cifras significativas y el
resultado posee tan solo una. Al restar se han perdido cifras significativas. Esto es
importante tenerlo en cuenta cuando se trabaja con calculadoras o computadores
en donde haya cifras que se sumen y se resten. Es conveniente realizar primero
las sumas y luego las restas para perder el menor número de cifras significativas
posible.
Regla 4: Al multiplicar o dividir dos números, el número de cifras significativas del
resultado es igual al del factor con menos cifras.
Truncación de números
Ahora determinemos la densidad del cilindro el cual tiene una masa
m=(22,7±0,1)g. Para calcular la densidad, ρ, debemos realizar el cociente
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Si realizamos este cociente con la calculadora obtenemos:
Claramente, la mayoria de estas cifras no son significativas y debemos truncar el
resultado. Para saber donde hacerlo, debemos propagar los errores del
numerador y del denominador, y ver que cifra afecta el eror de ρ.
De la ecuacion (1) tenemos:
y por tanto
V
m
V
m
m 1 V
m
V m
V
m
2
V V V m
V m
V m
0.
06
V m
g
0. 4
cm
con lo que el valor de ρ solo una cifra decimal es significativa. Sin embargo, al
truncar el numero 6.4857, debemos tener en cuenta que el numero más cercano a
él y con una cifra decimal es 6.5 y no 6.4 que resultaría de una truncación
automática. Finalmente el valor que se obtiene para ρ es:
La propagación del error no está limitada al modelado matemático. Siempre es
una preocupación en la investigación científica, especialmente en los estudios que
proceden en pasos de incrementación múltiple, debido a que el error en un paso
puede incrementarse fácilmente en el siguiente paso.
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