Guía del Laboratorio - Instituto de Física - Universidad de Antioquia

Instituto de Física Universidad de Antioquia
Colisiones rebotes sucesivos
Objetivo
Determinar el coeficiente de restitución inelástica de una pelota al rebotar contra el
suelo.
Equipo
• Pelota
• Regla de 1 m
• Cronómetro
Montaje
Marco Teórico
Introducción
• Computador
• Interfaz gráfica
Alguna vez se ha preguntado ¿cuánto tiempo tarda una pelota en dejar de rebotar
al ser soltada desde una cierta altura? La solución a esta interrogante involucra los
temas de caída libre y colisiones elásticas, lo que incluye los conceptos de
rapidez, aceleración de la gravedad y coeficiente de restitución. Así, la rapidez con
la que rebotará la pelota dependerá del valor de la rapidez con la que llegue al
suelo y del coeficiente de restitución entre la superficie y la pelota. En una colisión
perfectamente inelástica el coeficiente de restitución será igual a cero y la pelota
Por: Lucelly Reyes

se quedará adherida al suelo después del primer rebote. En una colisión
perfectamente elástica, el coeficiente de restitución será igual a uno, por lo que la
pelota rebotará con la misma rapidez que con la que llegue al suelo, siguiendo
este movimiento indefinidamente. Si el coeficiente de restitución se encuentra
entre cero y uno, que es la mayor parte de las colisiones, la rapidez de la pelota irá
disminuyendo en cada rebote hasta que se detenga. De esta forma, el tiempo que
tarde la pelota en dejar de rebotar será igual a la suma de los tiempos que tarda la
pelota en cada rebote. Esta suma corresponde a una suma infinita, la cual está
identificada con una expresión particular.
Se deduce tal expresión y se muestra una simulación del movimiento de la pelota
al ser soltada desde una altura determinada. Para comparar los resultados, la
simulación muestra el tiempo calculado a través de la expresión deducida y el
tiempo utilizado en la simulación. El movimiento del objeto se considera en dos
direcciones y sin rotación, al igual que se desprecia la fricción provocada por el
aire.
Colisiones
Se emplea el término de colisión para representar la situación en la que dos o más
partículas interaccionan durante un tiempo muy corto. Se supone que las fuerzas
impulsivas debidas a la colisión son mucho más grandes que cualquier otra fuerza
externa presente.
El momento lineal total se conserva en las colisiones. Sin embargo, la energía
cinética no se conserva debido a que parte de la energía cinética se transforma en
energía térmica y en energía potencial elástica interna cuando los cuerpos se
deforman durante la colisión.
Se define colisión inelástica como la colisión en la cual no se conserva la energía
cinética. Cuando dos objetos que chocan se quedan juntos después del choque se
dice que la colisión es perfectamente inelástica. Por ejemplo, un meteorito que
choca con la Tierra.
En una colisión elástica la energía cinética se conserva. Por ejemplo, las
colisiones entre bolas de billar son aproximadamente elásticas. A nivel atómico las
colisiones pueden ser perfectamente elásticas.
La magnitud Q es la diferencia entre las energías cinéticas después y antes de la
colisión. Q toma el valor de cero en las colisiones perfectamente elásticas, pero
puede ser menor que cero si en el choque se pierde energía cinética como
resultado de la deformación, o puede ser mayor que cero, si la energía cinética de
las partículas después de la colisión es mayor que la inicial, por ejemplo, en la
2
Por Lucelly Reyes

explosión de una granada o en la desintegración radiactiva, parte de la energía
química o energía nuclear se convierte en energía cinética de los productos.
Coeficiente de restitución
Se ha encontrado experimentalmente que en una colisión frontal de dos esferas
sólidas como las que experimentan las bolas de billar, las velocidades después del
choque están relacionadas con las velocidades antes del choque, por la expresión
donde e es el coeficiente de restitución y tiene un valor entre 0 y 1. Esta relación
fue propuesta por Newton y tiene validez solamente aproximada. El valor de uno
es para un choque perfectamente elástico y el valor de cero para un choque
perfectamente inelástico.
El coeficiente de restitución es la razón entre la velocidad relativa de alejamiento, y
la velocidad relativa de acercamiento de las partículas.
Rebote en el suelo
Cuando una pelota rebota sobre un
tablero rígido, la componente de la
velocidad perpendicular al tablero
disminuye su valor, quedando la
componente paralela inalterada
vx = ux
vy = -e·uy
Alturas de los sucesivos rebotes
Supongamos que una pelota se deja caer desde una altura inicial h. Vamos a
calcular las alturas de los sucesivos rebotes.
3
Por Lucelly Reyes

Primer rebote
La velocidad de la pelota antes del rebote se calcula aplicando el principio de
conservación de la energía
mgh =
1
2
mu
2
u
1
=
2gh
t
0 _1
= t =
La velocidad de la pelota después del rebote es (en módulo) v = e u
La pelota asciende con una velocidad inicial v1, y alcanza una altura máxima h1
que se calcula aplicando el principio de conservación de la energía
1 2
2gh1
2
2e
h
mv 1 = mgh1
u =
h1
= e h t1_
2 = 2
= 2te
1
2
2
e
g
Segundo rebote
La velocidad de la pelota antes del rebote se calcula aplicando el principio de
conservación de la energía. La velocidad de la pelota después del rebote es (en
2
v = ev = e u .
módulo) 2 1 1
La pelota asciende con una velocidad inicial v2, y alcanza una altura máxima h2
que se calcula aplicando el principio de conservación de la energía
4
Por Lucelly Reyes
1
2h
g
2

1 2
2gh2
4
2e
h
mv 2 = mgh2
v1
=
h
2
2 = e h t2
_ 3 = 2
= 2te
2
e
g
Rebote n
Después del rebote n, la altura máxima que alcanza la pelota es
h
n
=
e
2n
El tiempo total es. = t + t + t + ...
t total
0 _1
1_
2
2 _ 3
El tiempo total tras infinitos rebotes es la suma de t y los términos de una
progresión geométrica cuyo primer término es 2te y cuya razón es e.
t total
La serie
2
4
h
2
[ 1 + 2e
+ 2e
+ ... ] = t[
1 + 2e
+ 2 + ... ]
2h 2e
h 2e
h 2h
2
= + 2
+ 2
+ ... =
e
g g g g
1 +
2 3 3 n−
1
e + e + e + e + ... + e es una serie geométrica que como 0

En el rebote n la pelota pierde una energía
La suma de ΔE1+ ΔE2+ ΔE3+…. ΔEn es la energía perdida por la pelota después
de n rebotes. Después de infinitos rebotes la pelota habrá perdido toda su energía
inicial mgh.
Medida del coeficiente de restitución e y la aceleración de la
gravedad g.
El tiempo tn que pasa la pelota en el aire entre dos sucesivos choques con el suelo
es
Tomando logaritmos
t = 2te
n
ln tn=n·lne+ln(2t)
Midiendo la ordenada en el origen obtenemos 2t
2 t =
n
Si representamos gráficamente ln tn en
función de n obtenemos una línea
recta, cuya pendiente es el coeficiente
de restitución e, y cuya ordenada en el
origen es ln(2t)
conocida la altura h a la que se ha dejado caer inicialmente a la pelota
despejamos la aceleración de la gravedad g.
6
Por Lucelly Reyes
8h
g

Experimento
1. Abra la interfaz del laboratorio
2. Sosteniendo la pelota con el brazo estirado, lo más alto posible, suéltela al
mismo tiempo que dispara el cronómetro. Registre la altura y el tiempo que
la pelota tarda en caer al suelo (t). Repita la operación unas cinco veces.
3. Tome el valor promedio de sus medidas y calcule su error estadístico.
4. Repetimos el experimento registrando ahora el tiempo desde que se suelta
la pelota hasta que ésta da el segundo bote (t1). Nuevamente realizamos
unas diez medidas, se toma el promedio con su correspondiente error
estadístico.
5. Hacemos lo mismo para medir los tiempos al tercer (t2), cuarto (t3), quinto
(t4), etc., rebotes. Dependiendo de la pelota y las condiciones del suelo, se
pueden registrar hasta diez rebotes.
6. utilice la simulación para hacer cálculos de error
Cálculos
7
1. Con los tiempos promedio, calcule los intervalos de tiempo entre rebotes
sucesivos.
2. Determine el valor de e calculándolo de cada par de intervalos
sucesivos. Saque el promedio de los valores obtenidos con su
Por Lucelly Reyes

8
correspondiente error estadístico. Repita sus cálculos tanto para el
tiempo como para la altura.
3. Haga una gráfica de ln(Δtn) en función de n. y determine el valor de e.
Ajuste la grafica a una línea recta, determine la incertidumbre del
coeficiente de restitución e.
4. Haga una gráfica de ln(hn) en función de n. y determine el valor de e.
Ajuste la grafica a una línea recta, determine la incertidumbre del
coeficiente de restitución e.
5. Calcule la aceleración de la gravedad g.
6. Compare sus datos simulados y los medidos del 3 choque con el suelo.
Por ejemplo la altura máxima que alcanza la pelota, el tiempo que tarda
en alcanzar dicha altura y la energía de la pelota.
7. Calcule el tiempo total y compare con el valor esperado
8. Comparar la energía que se pierde en los sucesivos choques con los
valores esperados.
Por Lucelly Reyes