Medida indirecta Propagación de incertidumbres

Medición indirecta
Propagación de incertidumbres
En la mayoría de los casos las magnitudes medidas directamente no son el
objetivo final de un experimento, sino un paso necesario para obtener otras
magnitudes relacionadas con ellas mediante alguna dependencia funcional.
En este caso, es necesario conocer la forma en que el grado de incertidumbre
se refleja en el resultado final de las mediciones, es decir cómo se propagan
las incertidumbres individuales de cada medición en el resultado final de la
medición.
Si se supone que una magnitud f depende de x, el cálculo del error ∆f a partir
del error directo ∆x se denomina propagación de error. Si el error relativo es
pequeño podemos hacer uso de la siguiente aproximación:
f
f ( x x)
f ( x)
x
f f
x
Supongamos ahora que una magnitud z depende de las magnitudes
observadas (x, y), con x x x
y y y y
, tendremos que z z z
con
y
z f ( x,
y)
z
z
z x
y
x
y
Donde z es la derivada parcial de z con respecto a x evaluada en x x
x
siempre y cuando la variable y se mantenga constante.
Ejemplo, si se quiere medir el volumen de un cilindro y se sabe que su radio es
r = 6,0cm y su altura h = 10,0cm, es bien sabido que su volumen viene dado
por V = πhr 2 =1131 cm 2 . Pero, si la magnitud h tiene un error de ∆h=0,1cm y r
tienen un error de ∆r=0,1cm, ¿cuál es el error que se comete en el cálculo del
volumen?
El valor de ∆V se obtiene de la ecuación:
V
V
V r
h
r
h
Que requiere calcular las derivadas parciales.

V
r
V
h
2hr
377cm
r
Y por tanto, el error en el volumen es:
Por consiguiente, se tiene que:
Y en notación científica será:
2
113cm
2
V
3
3
( 377x0.
1113x0.
1)
cm 49cm
V ( 1130 50)
cm
V
3 3
( 1.
13 0.
05)
x10
cm
Algunos casos prácticos, suponiendo que la función z depende de otras dos
magnitudes q1 y q2, son los siguientes:
Ejemplo: supongamos que tenemos las mediciones directas de velocidad y
masa de un cuerpo:
v = 12.5 cm/s 0.1 cm/s
m = 53.3 g 0.1 g
y queremos calcular la cantidad de movimiento p
p = m v
Para calcular la incertidumbre asociada al valor calculado m v = 666 g cm/s
debemos calcular
p p
p v m
v m
donde
entonces
p y
m
v
∆p = m ∆v + v ∆m = 6.58 g cm/s
3
2
p
v
m
Siguiendo las reglas anteriores para la presentación de resultados, el valor de
la cantidad de movimiento será:
p = 666 g cm/s 7 g cm/s

Nótese que el producto de la masa por la velocidad según los datos
presentados es 666.25 pero fue redondeado a 666 para ser coherente con su
incertidumbre.
Adición y sustracción
En general, sea A y B dos medidas y ∆A y ∆B sus respectivos errores.
La suma de estas medidas es:
S A B
Si consideramos sus respectivos errores habría que plantear:
1. S S
( A A)
( B B)
( A B)
( A
B)
de tal modo que S , es la suma de los errores: S A
B
. Esta regla es
válida para más de dos sumandos.
Sea R A B donde A y B tienen los errores ∆A y ∆B, respectivamente.
Teniendo en cuenta esto se tiene:
2. R R
( A A)
( B B)
( A B)
( A
B)
Note que aunque las medidas se restan los errores se suman: R A
B
Esta regla es válida para varios términos restados.
Producto y cociente
Sea P A.
B donde A y B tienen los errores ∆A y ∆B, respectivamente.
Entonces,
A B
3. P P
( A A).(
B B)
A.
B.
1
.
A B
La regla es valida para más de dos factores.
Sea C A.
/ B donde A y B tienen los errores ∆A y ∆B, respectivamente.
Entonces,
( A A)
A A B
4. C C
1
( B B)
B
A B
Potenciación y Radicación
Una medida y su error absoluto elevado a un exponente n que puede ser
mayor que 1 (potenciación) o menor que 1 (radicación), se procede así : la
medida se eleva al exponente n más menos la medida elevada al exponente se
multiplica por n y por el cociente entre el error y la medida. Se aplica el criterio
de cifras significativas y aproximaciones numéricas al resultado final.
Si n > 1 ó n < 1, se tiene:

A
A
5. M M
( A A)
n
A.
n
A.
n
.
n
A.
n
1
.
n
A A
Casos especiales
a) Una medida con su respectivo error absoluto si se multiplica o divide por
una constante física, dicha constante multiplica o divide a la medida y el
error, aplicando al resultado final el criterio de cifras significativas y
aproximaciones numéricas:
Sea k una constante física, A una medida y ∆A su error, luego:
Ejemplo 1
F k(
A A)
k.
A k.
A
Sea la constante física g, la aceleración de gravedad, y m la medida de
una
masa con su respectivo error. Se pide determinar el peso en newton (N).
m
m
W m.
g 9.
8 ( 3.
1
0.
1)
kg ( 9.
8x3.
1
9.
8x0.
1)
kg ( 30.
38 0.
98)
N ( 30 1)
N
2
2
s
s
b) Una medida con su respectivo error absoluto si se multiplica o divide por
una constante matemática, dicha constante sólo multiplica a la
medida. Al resultado final se aplica el criterio de cifras significativas y
aproximaciones numéricas.
Sea k una constante matemática, B una medida con su respectivo error
∆B.
Ejemplo 2
H k(
B B)
k.
B B
Sea π la constante matemática y R una medida que corresponde al
radio de un
círculo, medido en cm. Se pide calcular el perímetro del círculo.
P 2R
2(
3.
14)(
2.
34 0.
05)
cm 6.
28(
2.
34 0.
05)
cm ( 14.
6952 0.
05)
cm
P ( 14.
70
Ejemplo 3
0.
05)
cm
Sea π la constante matemática y R una medida que corresponde al
radio de un círculo, medido en cm. Se desea calcular el área del círculo.

A R
A
2
3.
14(
2.
34
3.
14(
5.
4756
0.
05)
0.
234)
cm
Re sultado _ final A
2
2
cm
( 17.
2
2
2
3.
14
( 2.
34)
0.
2)
cm
2
( 2.
34)
2
( 17.
1933...
0.
234)
cm
2x0.
05
cm
2.
34
En este ejemplo se desarrolla primero la potenciación (fórmula 5) y luego se
aplica la regla b (casos especiales).
La propagación de los errores expresada en las formulas anteriores es la que
usualmente se utiliza con los errores asociadas a los errores de escala. Los
errores provenientes de los errores aleatorios (cuando se dan valores
diferentes para medidas repetidas) se deben tratar de forma diferente. En este
caso el error, para una función de dos variables f(x; y), viene dada por:
f
f
f x
y
x
y
Que en los casos particulares de sumas, productos, cocientes y potencias
toman las siguientes formas:
x
n
x
n
y
n
n x
n
1
x
x
y
xy
xy
x y
2
x
n
y
n
2
2
x
y
n
m
x y
2
2
2
2
(
x y)
x
y
x
y
2
2 x y 2
x
y
x y
2
2