Práctica Incertidumbre y gráficas - Instituto de Física - Universidad ...

Instituto de Física Universidad de Antioquia
Incertidumbres y Gráficas
Péndulo Simple
Objetivos
1. Hacer propagación de incertidumbres de diversas cantidades.
2. Determinar por medio de gráficas la relación entre el periodo de un péndulo
simple con la gravedad y la longitud del mismo.
Equipo:
Péndulo simple
Regla de un metro
Balanza
Sistema LabGICM
Medidor de ángulos
Nonio
Computador
Marco teórico
Propagación de incertidumbres
En la mayoría de los casos las magnitudes medidas directamente no son el
objetivo final de un experimento, sino un paso necesario para obtener otras
magnitudes relacionadas con ellas mediante alguna dependencia funcional.
En este caso, es necesario conocer la forma en que el grado de incertidumbre se
refleja en el resultado final de las mediciones, es decir cómo se propagan las
incertidumbres individuales de cada medición en el resultado final de la medición.
Si se supone que una magnitud f depende de x, el cálculo del error ∆f a partir del
error directo ∆x se denomina propagación de error. Si el error relativo es pequeño
podemos hacer uso de la siguiente aproximación:
Por Lucelly Reyes H
f
f ( x x)
f ( x)
x
f f
x
Supongamos ahora que una magnitud z depende de las magnitudes observadas
(x, y), con x x x
y y y y
, tendremos que z z z
con

y
z f ( x,
y)
z
z
z x
y
x
y
Donde z es la derivada parcial de z con respecto a x evaluada en x x siempre
x
y cuando la variable y se mantenga constante.
Ejemplo, si se quiere medir el volumen de un cilindro y se sabe que su radio es r =
6,0cm y su altura h = 10,0cm, es bien sabido que su volumen viene dado por V =
πhr 2 =1131 cm 2 . Pero, si la magnitud h tiene un error de ∆h=0,1cm y r tienen un
error de ∆r=0,1cm, ¿cuál es el error que se comete en el cálculo del volumen?
El valor de ∆V se obtiene de la ecuación:
V
V
V r
h
r
h
Que requiere calcular las derivadas parciales.
V
2hr
377cm
r
V
2
2
r
113cm
h
Y por tanto, el error en el volumen es:
Por consiguiente, se tiene que:
Y en notación científica será:
V
3
3
( 377x0.
1113x0.
1)
cm 49cm
V ( 1130 50)
cm
V
3 3
( 1.
13 0.
05)
x10
cm
Algunos casos prácticos, suponiendo que la función z depende de otras dos
magnitudes q1 y q2, son los siguientes:
Ejemplo: supongamos que tenemos las mediciones directas de velocidad y masa
de un cuerpo:
v = 12.5 cm/s 0.1 cm/s
m = 53.3 g 0.1 g
2
3
2

y queremos calcular la cantidad de movimiento p mediante la relación de vínculo
p = m v
Para calcular la incertidumbre asociada al valor calculado m v = 666 g cm/s
debemos calcular
p p
p v m
v m
donde
entonces
p
m
v
y
p
v
m
∆p = m ∆v + v ∆m = 6.58 g cm/s
Siguiendo las reglas anteriores para la presentación de resultados, el valor de la
cantidad de movimiento será:
p = 666 g cm/s 7 g cm/s
Nótese que el producto de la masa por la velocidad según los datos presentados
es 666.25 pero fue redondeado a 666 para ser coherente con su incertidumbre.
Ejemplo: Medida indirecta de la densidad de una esfera de radio r donde se
mede el radio y se pesa la esfera.
La densidad se define como masa sobre volumen:
Para la esfera, el volumen es
así que la densidad se expresa en función de radio y masa como
La ley de propagación de los errores establece que
3

Con base en esto, podemos calcular el error relativo de la densidad:
Adición y sustracción
En general, sea A y B dos medidas y ∆A y ∆B sus respectivos errores.
La suma de estas medidas es:
S A B
Si consideramos sus respectivos errores habría que plantear:
1. S S
( A A)
( B B)
( A B)
( A
B)
de tal modo que S , es la suma de los errores: S A
B
. Esta regla es
válida para más de dos sumandos.
Sea R A B donde A y B tienen los errores ∆A y ∆B, respectivamente.
Teniendo en cuenta esto se tiene:
2. R R
( A A)
( B B)
( A B)
( A
B)
Note que aunque las medidas se restan los errores se suman: R A
B
Esta regla es válida para varios términos restados.
Producto y cociente
Sea P A.
B donde A y B tienen los errores ∆A y ∆B, respectivamente.
Entonces,
A B
3. P P
( A A).(
B B)
A.
B.
1
.
A B
La regla es válida para más de dos factores.
Sea C A.
/ B donde A y B tienen los errores ∆A y ∆B, respectivamente.
Entonces,
( A A)
A A B
4. C C
1
( B B)
B
A B
Potenciación y Radicación
4

Una medida y su error absoluto elevado a un exponente n que puede ser mayor
que 1 (potenciación) o menor que 1 (radicación), se procede así : la medida se
eleva al exponente n más menos la medida elevada al exponente se multiplica por
n y por el cociente entre el error y la medida. Se aplica el criterio de cifras
significativas y aproximaciones numéricas al resultado final.
Si n > 1 ó n < 1, se tiene:
A
A
5. M M
( A A)
n
A.
n
A.
n
.
n
A.
n
1
.
n
A A
Casos especiales
a) Una medida con su respectivo error absoluto si se multiplica o divide por
una constante física, dicha constante multiplica o divide a la medida y el
error, aplicando al resultado final el criterio de cifras significativas y
aproximaciones numéricas:
Sea k una constante física, A una medida y ∆A su error, luego:
Ejemplo 1
F k(
A A)
k.
A k.
A
Sea la constante física g, la aceleración de gravedad, y m la medida de una
masa con su respectivo error. Se pide determinar el peso en newton (N).
m
m
W m.
g 9.
8 ( 3.
1
0.
1)
kg ( 9.
8x3.
1
9.
8x0.
1)
kg ( 30.
38 0.
98)
N ( 30 1)
N
2
2
s
s
b) Una medida con su respectivo error absoluto si se multiplica o divide por
una constante matemática, dicha constante sólo multiplica a la medida.
Al resultado final se aplica el criterio de cifras significativas y
aproximaciones numéricas.
Sea k una constante matemática, B una medida con su respectivo error ∆B.
Ejemplo 2
H k(
B B)
k.
B B
Sea π la constante matemática y R una medida que corresponde al radio de un
círculo, medido en cm. Se pide calcular el perímetro del círculo.
5

P 2R
2(
3.
14)(
2.
34 0.
05)
cm 6.
28(
2.
34 0.
05)
cm ( 14.
6952 0.
05)
cm
P ( 14.
70
Ejemplo 3
0.
05)
cm
Sea π la constante matemática y R una medida que corresponde al radio de un
círculo, medido en cm. Se desea calcular el área del círculo.
A R
A
2
3.
14(
2.
34
3.
14(
5.
4756
0.
05)
0.
234)
cm
Re sultado _ final A
2
2
cm
( 17.
2
2
2
3.
14
( 2.
34)
0.
2)
cm
2
6
( 2.
34)
2
( 17.
1933...
0.
234)
cm
2x0.
05
cm
2.
34
En este ejemplo se desarrolla primero la potenciación (fórmula 5) y luego se aplica
la regla b (casos especiales).
La propagación de los errores expresada en las formulas anteriores es la que
usualmente se utiliza con los errores asociadas a los errores de escala. Los
errores provenientes de los errores aleatorios (cuando se dan valores diferentes
para medidas repetidas) se deben tratar de forma diferente. En este caso el error,
para una función de dos variables f(x; y), viene dada por:
f
f
f x
y
x
y
Que en los casos particulares de sumas, productos, cocientes y potencias toman
las siguientes formas:
x
n
x
n
y
n
n x
n
1
x
x
y
xy
xy
x y
2
x
n
y
n
2
2
x
y
n
m
x y
Análisis de datos a partir de graficas
2
2
2
2
(
x y)
x
y
x
y
2
2 x y 2
x
y
x y
Abra la pagina Web del Laboratorio y lea el documento sobre Análisis de graficas.
2
2

Ejemplo:
Datos simulados de un péndulo simple
L(cm) T(s) M(g) g(cm/s2) T*T(s2)
47,20 1,38 47,56 976,00 1,89
40,40 1,28 47,56 976,00 1,64
37,50 1,23 47,56 976,00 1,51
31,30 1,12 47,56 976,00 1,25
28,00 1,06 47,56 976,00 1,13
25,70 1,02 47,56 976,00 1,03
25,50 1,01 47,56 976,00 1,02
24,00 0,99 47,56 976,00 0,99
22,50 0,95 47,56 976,00 0,91
5,00 0,45 47,56 976,00 0,21
11,79 0,69 47,56 976,00 0,48
18,57 0,86 47,56 976,00 0,74
8,88 0,60 47,56 976,00 0,36
77,70 1,78 47,56 976,00 3,15
90,31 1,91 47,56 976,00 3,66
68,01 1,66 47,56 976,00 2,76
57,35 1,52 47,56 976,00 2,30
0,00 0,00 47,56 976,00 0,00
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
T(s) vs L(cm)
En este grafico se puede ver la dependencia aproximada entre el periodo y la longitud del
péndulo
Para estar seguros de esta conclusión lo mejor es graficar T vs L 2 lo que permitirá ver con
claridad que tan buena es nuestra aproximación.
7
T = 0,2025L 0,4978
R² = 0,9999
0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00

4,00
3,00
2,00
1,00
0,00
Como se puede observar da una línea recta que debe pasar obligatoriamente por el origen,
por esto la aproximación correcta es
La constante de proporcionalidad debe ser igual
por tanto el valor de la gravedad es
Consulte en la página Web del laboratorio como obtener la gravedad cuando se
tiene en cuenta la propagación de error debido a los instrumentos de medida.
Procedimiento experimental
1. Calculo de la densidad
T*T(s2) vs L(cm)
Para la practica dispone de varios instrumentos de medida, encuentre para
cada uno de ellos su apreciación.
Pese y mida las dimensiones necesarias para determinar su volumen. Si
existe alguna deformación tome medidas promedio del parámetro que sea
necesario.
Determine su densidad y por tanto, el tipo de material que la constituye.
8
T*T = 0,0405L - 0,0043
R² = 0,9999
0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00

2. Estudio experimental de la relación del periodo con la
gravedad
Para abordar este punto haremos uso de un experimento virtual.
En la hoja Web de la práctica haga clic sobre la simulación del péndulo.
Aparece la interfaz grafica
Observe que dispone de 3 controles para los parámetros gravedad, longitud y
masa. Existe un cuarto parámetro que es el ángulo con el que dejamos oscilar al
péndulo, este parámetro se ha fijado internamente a 8°. para realizar el
experimento tenemos que fijar otros parámetros como la masa y la longitud.
Ejemplo. m=100g, L=100cm.
Tome la aceleracion del planeta Mercurio y calcule el periodo del pendulo
9

Mercurio
Venus
Tierra
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
10
Gravedad
g(cm/s^2)
362,6
884,94
980
372,4
2450
905
911,4
Neptuno 1117,2
Luna 162
Repita para el resto de planeta
Para encontrar la función que nos da la relación de estos dos parámetros
siga con mucha atención el documento "Tabulación y graficas " de la
pagina Web del laboratorio.
3. Calculo de la relación del periodo con la longitud
Realice el siguiente montaje
Coloque el fotogate de tal forma que el paso de la masa del péndulo genere
un instante de oscuridad.
Prenda la unidad LabGICM. El conjunto de funciones diseñadas para el
laboratorio pueden ser seleccionadas a través del teclado. Al encender la
interfaz aparece en la pantalla de cristal líquido el siguiente mensaje:

Seleccione la opción periodo. Para que el sistema LabGICM mida el
periodo se deben producir 3 interrupciones en el fotogate.
Abra una hoja de cálculo.
Tome una longitud de 100cm mida el periodo, regístrelo en la hoja de
cálculo y en forma simultánea vaya construyendo el grafico de L vs T
Repita el numeral anterior unas 15 veces.
Para encontrar la función que nos da la relación de estos dos parámetros
siga con mucha atención el documento "Tabulación y graficas " de la pagina
Web del laboratorio.
Para salir de cualquier opción hundir la tecla asterisco *.
Tenga un poco de paciencia la interfaz necesita cierto tiempo para responder.
Preguntas
De las ecuaciones de movimiento para el péndulo simple, se deduce la siguiente
expresión analítica que relaciona el periodo con la longitud y la aceleración debida
a la gravedad:
1. Para los gráficos obtenidos, haga un ajuste de tipo lineal, polinómico y
potencial. Cuál de estas expresiones representan mejor el problema físico?
2. En relación con el resultado analítico y comparando lo hallado en el numeral
anterior qué se puede concluir?
3. Utilizando la simulación, haga un experimento que le permita ver qué efecto
tiene la masa en el periodo, está deacuerdo esto con el resultado analítico?
4. Estime el error en la determinación de g a partir de los errores de apreciación
en las medidas de L y T
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