Medida e incertidumbre y presentación de datos

Laboratorio de física
Medida e incertidumbre y presentación de datos
Marco Teórico
La física por ser unas de las ramas de las ciencias naturales es experimental y
cuantitativa, es decir, en el trabajo de laboratorio se tendrá la necesidad de medir
magnitudes físicas disponiendo así de datos experimentales.
Los resultados de las medidas, en general, pueden ser representadas analítica y
gráficamente. El experimento, parte esencial del trabajo investigativo, puede
conducir al hallazgo de relaciones funcionales entre cantidades que describen una
clase amplia de fenómenos. los resultados de tales experimentos son ecuaciones
empíricas que representan la forma general en la cual están relacionadas las
cantidades estudiadas.
A menudo los resultados de las medidas no expresan la relación entre las
variables en forma simple (o sea aproximable por formulas matemáticas simples).
En este caso la información representada en forma grafica o en forma tabular
constituye el mejor resultado obtenido del experimento.
Tabulación de datos (Tablas)
La representación tabular proporciona sólo una síntesis muy limitada del resultado
del trabajo experimental. Sin embargo la tabulación de los datos es una
herramienta indispensable tanto para la realización misma del experimento como
para su ulterior análisis.
La realización de tablas de valores no se limita necesariamente a los datos que se
recogen directamente en el trabajo experimental, sino que puede extenderse a los
resultados de efectuar operaciones con dichos datos. Además, pueden disponerse
de columnas para colocar en ellas el error siempre que éste sea diferente en cada
medición.
Para mayor información, las tablas de datos deben poseer un título y deben
aparecer las magnitudes con sus unidades de medida.
Ejemplo: Péndulo Simple
Los datos que se muestran a continuación son el resultado de la variación de la
longitud del péndulo y la medida virtual del periodo. Este experimento virtual
introduce las incertidumbres de los instrumentos de medida como pude ser un
cronometro y una regla.
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L(cm) T(s)
100,000 2.012
91,276 1.918
83,520 1.836
73,827 1.726
67,041 1.646
56,378 1.513
44,745 1.340
39,898 1.264
33,112 1.159
25,357 1.010
19,541 0,892
14,694 0,776
10,816 0,657
6,939 0,529
22,449 0,956
34,082 1.171
45,714 1.360
36,990 1.223
¿Existe alguna relación entre estos valores?. No se sabe por el momento.
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Como se puede observar a esta tabla de datos hay que agregarle las
incertidumbres de los instrumentos y ajustar las cifras significativas de las
medidas.
Representación gráfica
Una vez tabulados los datos así como los valores de las magnitudes calculadas,
es conveniente representar los resultados en un gráfico. La representación gráfica
viene a ser lo más representativo del fenómeno que se está estudiando y en su
interpretación se reflejará el comportamiento límite del fenómeno bajo las
condiciones en que se realizó y además algunas informaciones matemáticas como
por ejemplo la función matemática que mejor lo represente. Además, la
representación gráfica permite obtener valores que aún no han sido obtenidos
experimentalmente, es decir, valores entre puntos. Dicho proceso se llama
interpolación. El proceso para obtener valores fuera del intervalo experimental
recibe el nombre de extrapolación.
Es común la necesidad de explorar relaciones de la forma
donde x, y son las variables y son parámetros constantes que
determinan una familia de graficas. En principio se busca hallar una relación
funcional a partir de los datos experimentales y deducir los valores de los
parámetros. frecuentemente los parámetros contienen valiosa información, como
Por Lucelly Reyes H 3

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valores de constantes física, etc. Muchos fenómenos pueden describirse por
expresiones matemáticas simples, de uno de los siguientes cuatro tipos:
1. Función lineal:
2. Función potencial:
3. Función exponencial:
4. Ecuación polar:
Para graficar funciones de tipo 1, o que mediante cambios de variables se pueden
llevar a la forma lineal, se emplean ejes milimetrados. Para las de tipo 2 ejes loglog.
Para las de tipo 3 ejes semilog. Y para las de tipo 4 ejes polares. En estas
funciones los parámetros son m, a y b.
Función
gráfica
b=1, a=2
b=1,a=1/2
Linealización
semilogarítmico
semilogarítmico
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Reglas para graficar
semilogarítmico
logarítmico
logarítmico
1. Los ejes deben llevar claramente las magnitudes que en ellos se
representan y las unidades correspondientes.
2. Elegir las unidades en los ejes coordenados de modo que permitan leer e
interpretar con facilidad.
3. Es conveniente en general, que el origen aparezca en el gráfico. No
obstante, las escalas pueden reemplazarse cuando los datos
experimentales están en un intervalo que así lo requiere.
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4. Debe usarse el eje de la abscisa para la variable independiente (aquella
que es controlada por el experimentador) y el eje de la ordenada para la
variable dependiente.
5. Por ejemplo, si medimos la longitud de una barra metálica al variar la
temperatura, se busca a la función l = f(T), entonces es conveniente usar el
eje x para T y el eje y para l.
6. Los valores experimentales no deben ser graficados como un punto sino
que hay que representar “el error con el cual se obtuvo dicho valor”. Para
ello se usan cruces, cuadrados, círculos, rectángulos, etc., centrados en el
valor.
Graficas en Excel
Aquí mostramos como usar una Planilla de Cálculo para graficar datos. Para
hacerlo, siga los pasos indicados abajo. Puede parecer que es un proceso difícil,
pero es bastante directo y simple.
1. Lo primero es tener los datos en la hoja de cálculo como se muestra en la
imagen de arriba.
2. Seleccione los datos que desea graficar en nuestro caso (L,T) y luego
haga clic en el menu "insertar".
3. Escoja la opción (Dispersión) .
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4. Escoja Dispersión sólo con marcadores
5. Luego de hacer clic en el botón Finalizar, el gráfico en la misma página que
los datos (como se muestra abajo), o como una hoja nueva.
L(cm) T(s)
100,000 2,012
91,276 1,918
83,520 1,836
73,827 2,500 1,726
67,041 1,646
56,378
2,000
44,745
1,513
1,340
39,898 1,264
1,500
33,112 1,159
25,357 1,010
19,541 1,000 0,892
14,694 0,776
10,816 0,500
6,939
0,657
0,529
22,449
0,000
34,082
0,000
45,714
0,956
1,171
20,000
1,360
40,000 60,000 80,000 100,000 120,000
Series1
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Una vez que el gráfico ha sido creado, tome un minuto o dos para hacer unos
retoques en él. Haga clic en el botón derecho del ratón y obtendrá una ventana
que nos permite hacer modificaciones en nuestro grafico.
Entre a la opción "Seleccionar datos"
Tenga presente lo siguiente:
Lo primero es verificar que las columnas queden en el orden que
deseamos, es decir que en el eje x quede la variable dependiente y en el
eje y la variable dependiente. Para esto editamos la serie.
aparece la siguiente ventana, donde podemos colocar el titulo y verificar los ejes
de coordenadas.
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Yo siempre borro el cuadro de leyenda. Con un sólo conjunto de datos en el
gráfico, la leyenda no es de utilidad. Para borrarla, simplemente haga clic
en ella y presione la tecla .
Note que es también posible cambiar el estilo y tamaño del font de los títulos y
encabezados.
Usando barras de error
Tenemos que la incertidumbre para ΔL= 0.1cm y para ΔT=0.001 s. Estos valores
de la incertidumbre se usaran como barras de error en el gráfico.
Agregar barras de error usando la Planilla es fácil. Se hace así:
Haga clic sobre el grafico y aparece en el menú principal de Excel la opción de
"presentación".
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como se puede observar ahí se tiene la opción de Barras de error.
Si no las observa entonces active los complementos de Excel.
Haga clic en el botón de office y Enter en Opciones de Excel.
Escoja Complementos
Haga clic en "Ir....." y active Herramientas para análisis.
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Creo que ya podemos colocar las barras de error al grafico
Seleccione más opciones de barras de error, aparece la siguiente ventana donde
se selecciona "Personalizado". Abrirá una ventana
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2,500
2,000
1,500
1,000
0,500
0,000
T(s) vs L(cm)
0,000 20,000 40,000 60,000 80,000 100,000 120,000
El resultado final es un gráfico de datos con barras de error como se muestra en el
grafico anterior.
Análisis e interpretación de la grafica de una línea recta
Tomemos como ejemplo el movimiento de un carro, donde consideramos que las
incertidumbre son cero.
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A la linea recta de la figura anterios de corresponde una ecuacion de la forma:
donde "y" es la variable dependiente, "x" la variable independiente y "m" la
pendiente. La pendiente es una medida de la inclinación de la recta con respecto
al eje horizontal. describe la rata de cambio de la variable y respecto a la variable
x. Por tratarse de una línea recta la pendiente es constante.
Se escogen dos puntos sobre la recta y se trazan líneas paralelas a los ejes como
se indica en la figura
Aquí es muy importante las unidades de la pendiente, como se puede ver la
pendiente se mantiene constante durante todo el movimiento y nos representa la
aceleración del móvil, por tanto podemos concluir que:
El móvil realizo un movimiento uniformemente acelerado.
Calculo del intercepto. Una vez se ha trazado la recta el intercepto b se obtiene
leyendo el eje vertical donde la recta lo corta, en este caso la recta pasa por el
origen de coordenadas, la información física es que el móvil partió del reposo.
Observando el grafico vemos que el área bajo la curva tiene unidades de distancia
(Km), esto nos permite conocer la distancia de recorrido del móvil.
Para analizar fácilmente algunas curvas es conveniente hacer cambios de
variables. Una de las formas más fáciles de hacerlo cambiando los ejes de
coordenadas de milimétricos a logarítmicos o semilogarítmico. El objetivo es
obtener una línea recta que, como se vio, es fácil de analizar.
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Volviendo a nuestro ejercicio del péndulo vamos a linealizar la grafica obtenido de
la simulación.
2,500
2,000
1,500
1,000
0,500
0,000
0,000 20,000 40,000 60,000 80,000 100,000 120,000
Haciendo el Excel el cambio de los ejes de milimétricos a logarítmicos se tiene
el siguiente grafico, el cual se ve perfecta la línea recta.
10,000
1,000
0,100
T(s) vs L(cm)
T(s) vs L(cm)
1,000 10,000 100,000 1.000,000
Como se puede observar los datos se ajustan con ejes log-log esto implica que la
función es de la forma
En efecto, tomando logaritmo decimal a ambos lados de la ecuación,
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Si se hacen los cambios de variables , , se sigue que
donde a es la pendiente de la recta en el gráfico logarítmico y es el intercepto.
Para calcular la pendiente a se escogen dos puntos sobre la recta y se
evalúa:
Si trazamos sobre el grafico una recta que una todos los puntos encontramos el
intercepto de la recta con el eje vertical
volviendo a las variables originales tenemos
En conclusión la función que relaciona el periodo y la longitud del péndulo es
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Ajuste de mínimos cuadrados
Para las relaciones funcionales estudiadas, como para casos más
generales en los cuales los resultados de las mediciones no pueden representarse
por medio de líneas rectas, ya sea porque su dependencia funcional no
corresponde a ninguna de las funciones que hemos estudiado, o porque los datos
presentan una elevada dispersión que no permite identificar la relación funcional,
es posible aplicar métodos de ajuste analíticos o numéricos. Uno de estos
métodos es el de mínimos cuadrados que por ser analítico y basarse en un
principio de máxima probabilidad, tiene mayor precisión y exactitud que el método
geométrico, llegando inclusive a medir el grado de ajuste de los datos a la función
de prueba.
El programa Excel, ajusta por este método a varios tipos de funciones.
Y seguramente, tu calculadora puede hacer ajustes a rectas (regresión lineal).
Lea del documento que aparece en la página Web del laboratorio "Mínimos
cuadrados".
Aquí puede ver los datos listos para aplicar el ajuste de mínimos cuadrados al
grafico log-log de nuestro experimento virtual "Péndulo simple"
L(cm) T(s) x=log(L) y=log(T) y*y x*x x*y Δx Δy
100,000 2,012 2 0,303628 0,092 4 0,6073 0,1 0,001
91,276 1,918 1,9603566 0,282849 0,08 3,843 0,5545 0,1 0,001
83,520 1,836 1,9217905 0,263873 0,07 3,69328 0,5071 0,1 0,001
73,827 1,726 1,8682152 0,237041 0,056 3,49023 0,4428 0,1 0,001
67,041 1,646 1,8263405 0,21643 0,047 3,33552 0,3953 0,1 0,001
56,378 1,513 1,7511097 0,179839 0,032 3,06639 0,3149 0,1 0,001
45,714 1,360 1,6600492 0,133539 0,018 2,75576 0,2217 0,1 0,001
44,745 1,340 1,6507445 0,127105 0,016 2,72496 0,2098 0,1 0,001
39,898 1,264 1,6009511 0,101747 0,01 2,56304 0,1629 0,1 0,001
36,990 1,223 1,5680843 0,087426 0,008 2,45889 0,1371 0,1 0,001
34,082 1,171 1,5325251 0,068557 0,005 2,34863 0,1051 0,1 0,001
33,112 1,159 1,5199854 0,064083 0,004 2,31036 0,0974 0,1 0,001
29,235 1,088 1,4659031 0,036629 0,001 2,14887 0,0537 0,1 0,001
25,357 1,010 1,4040979 0,004321 2E-05 1,97149 0,0061 0,1 0,001
22,449 0,956 1,351197 -0,01954 4E-04 1,82573 -0,0264 0,1 0,001
19,541 0,892 1,2909468 -0,04964 0,002 1,66654 -0,0641 0,1 0,001
14,694 0,776 1,16714 -0,11014 0,012 1,36222 -0,1285 0,1 0,001
10,816 0,657 1,0340667 -0,18243 0,033 1,06929 -0,1886 0,1 0,001
6,939 0,529 0,8412969 -0,27654 0,076 0,70778 -0,2327 0,1 0,001
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En Excel tenemos
m
b
x
y N
2 x
N
x
x
N
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x
xy
x
xy
y
2
2
x
N
x
R
2
x
2
xy
m
b
N
x
2
N
2
x
N
2 x
2
x
2
x
2
2 x
2 1 2
2 1 2
x x
y y
y
y
N
N
N
2
y
y
N
2 2
m x

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Como se puede observar ya sea en ejes milimetrados o log_log la ecuación que
nos bota la hoja de cálculo es la misma.
El coeficiente de determinación R 2 mide el grado de ajuste de los datos a la curva
o función de prueba. Este coeficiente alcanza el valor “1” (su máximo) cuando el
ajuste es total, como puede verse en el ajuste a la función exponencial.
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