F r - Universidad Rey Juan Carlos

h A
h B
Trabajo 21
Figura 2.2. CaídalibredeunbloqueentredospuntosAyB.Seeligeelsistemadereferencia
de manera que la caída se produce a lo largo del eje y.
Trabajo realizado por una fuerza variable
En general, la fuerza F sobre la partícula puede depender de la posición y del tiempo,
en cuyo caso tenemos una fuerza variable. Además, la propia trayectoria puede no ser
rectilínea. La expresión (2.7) no es válida. Para generalizarla, se divide la trayectoria
de la partícula, entre los puntos inicial y final, en un número indefinido de desplazamientos
infinitesimales dr, dentro de cada uno de los cuales se puede considerar que
la fuerza es constante y la trayectoria recta. El trabajo infinitesimal dW en uno de
estos desplazamientos resulta, usando la expresión (2.7),
dW = F·dr. (2.11)
El trabajo total realizado por la fuerza a lo largo de toda la trayectoria de la partícula,
entre un punto inicial A y un punto final B (ver la figura 2.3), es una suma en
el continuo (se suma en desplazamientos infinitesimales), de manera que se escribe
formalmente como la integral
W =
B
A
F·dr. (2.12)
Un ejemplo de cálculo del trabajo para una fuerza variable aparece en el movimiento
de una masa atada al extremo de un muelle horizontal de constante elástica k. Consideremos
un muelle en reposo al que atamos un cuerpo. La posición x = 0 corresponde
al punto de equilibrio del muelle. Estiramos el muelle hasta un punto x = A y lo
soltamos: el muelle se contrae. La fuerza con que el muelle actúa sobre la masa que
tiene en su extremo es F = −kx, siendo el signo negativo para expresar que el muelle
tira de la masa al contraerse hacia el punto de equilibrio. Calculemos el trabajo que
realiza esta fuerza en el movimiento de la masa desde x = A hasta x = 0. Tomamos
un desplazamiento infinitesimal dx y usamos la expresión (2.12). Obtenemos
W =
0
A
(−kx)dx = 1
2 kA2 , (2.13)
donde se ha usado que una primitiva de la función x es x 2 /2.