F r - Universidad Rey Juan Carlos

Momento de inercia y vector velocidad angular
Rotaciones planas de un cuerpo rígido 29
La cantidad entre paréntesis en la expresión (2.40) se conoce con el nombre de momento
de inercia I del cuerpo rígido y es el producto de la masa total del cuerpo por
un factor geométrico (con dimensiones de área) que depende de la forma del cuerpo
y del eje de rotación. Es una constante para un cuerpo rígido dado y un eje fijo dado.
Por otro lado, interesa definir el vector velocidad angular del cuerpo ω, de tal
modo que
ω = ωk. (2.41)
Es un vector cuyo módulo es la velocidad angular ω = v/r y cuya dirección y sentido
son los del eje con respecto al cual rota el cuerpo. Con estas definiciones, el momento
angular del cuerpo rígido respecto a un eje fijo es
Momento de torsión
L = Iω. (2.42)
En general, la variación con respecto al tiempo del momento angular total de un
sistema de partículas L = Li = ri ×pi es la suma de las variaciones del momento
angular de cada partícula, que se puede escribir como
dLi
dt
dri
=
dt ×pi +ri × dpi
. (2.43)
dt
La derivada de la posición es la velocidad, y la derivada del momento lineal es la
fuerza neta Fi aplicada a la partícula. Dado que la velocidad y el momento lineal son
paralelos, resulta
dLi
dt = ri ×Fi = τi. (2.44)
La cantidad que aparece en el segundo miembro de esta ecuación se conoce con el
nombre de momento de torsión τi de la partícula con respecto a un punto O tomado
como origen. Su unidad es 1N·m y expresa la eficiencia de las fuerzas para provocar
un giro. Cuando sumamos las contribuciones de todas las partículas, el cambio del
momento angular total resulta
dL
dt = dLi
dt = ri ×Fi = τi = τ, (2.45)
donde τ es el momento de torsión total τ del sistema. Para calcular el momento
de torsión total es necesario conocer en qué punto se aplican las fuerzas. Cuando el
sistema de partículas que tenemos es un cuerpo rígido en rotación plana, su momento
angular se puede escribir mediante la ecuación (2.42). Su variación temporal está dada
por
dL
dt
dω
= I . (2.46)
dt
Igualando ahora las expresiones (2.45) y (2.46), llegamos a lo que se conoce como
segunda ley de Newton para la rotación plana de un cuerpo rígido
τ = I dω
. (2.47)
dt