Tema 6. Propiedades elásticas de los materiales. Dinámica de fluidos

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Tema 6. Dinámica de fluidos 10 Como el cilindro está en equilibrio, la suma de las fuerzas que actúan sobre él debe ser cero. fy = P A − (P + dP )A − ρgAdy = 0 =⇒ dP dy = −ρg. Esta variación de presión está asociada a la diferencia de peso que soportan las caras superior e inferior del cilindro y debe existir para que el fluido esté en equilibrio. El signo negativo significa que la presión disminuye al aumentar la altura, puesto que ρ y g son siempre positivos. P2 y2 dP = −ρgdy −→ dP = − ρg dy. Haciendo aquí la hipótesis de que el fluido es incompresible, ρ = ρ(y) ó ρ = ρ(P ), y puede considerarse constante al integrar: P1 =⇒ P2 − P1 = ρg(y1 − y2). Normalmente, se considera que el recipiente que contiene el fluido está abierto por la parte superior a la atmósfera y se toma el origen de alturas en la cara en contacto con ella. En ese caso: ⎧ ⎪⎨ y1 −→ 0 y2 ⎪⎩ −→ −h P1 −→ P0 donde P0 es la presión atmosférica y entonces la presión, P , a una profundidad h viene dada por: P = P0 + ρgh. Dos consecuencias importantes de esta ecuación son: a) Dos puntos del fluido a la misma profundidad tienen la misma presión. b) La presión no depende de la forma del recipiente. 3.3. Variación de la presión con la altura en un fluido compresible En realidad, sólo los líquidos pueden considerarse fluidos incompresibles. Los gases son sistemas de elevada compresibilidad. Una pequeña variación de la presión sobre un gas provoca una notable alteración de su densidad. En este caso hace falta conocer una relación concreta, ρ = ρ(P ), para integrar dP/dy = −ρg. y1
Tema 6. Dinámica de fluidos 11 El caso más simple es el que sucede en el aire que forma la atmósfera. En este caso la relación entre presión y densidad viene dada aproximadamente por la siguiente expresión: P P0 = ρ ρ0 P −→ ρ = ρ0 , donde P0 y ρ0 son dos valores de la presión y la densidad de referencia, por ejemplo, en y = 0. 3.1 Ejemplo dP ρ0 = − gP −→ dy P0 dP ρ0 = − gdy P P0 P =⇒ log = − P0 ρ0 gy −→ P0 P = exp − P0 ρ0 gy =⇒ P = P0 exp − P0 ρ0 gy . P0 Sabiendo que la densidad del aire en condiciones normales es 1,29 kg/m 3 , determinaremos la diferencia de presión entre el techo y el suelo de una habitación de 4 m de altura. ρ0g P0 P = P0e − ρ 0 P0 gy P0 = 1,29 kg/m3 9,8 m/s 2 1,013 × 10 5 N/m 2 = 1,25 × 10−4 m −1 =⇒ P = P0 exp[−1,25 × 10 −4 ✟ ✟✟ m −1 4✚m] −→ 0,99950 P0. Otro caso sería la diferencia de presión entre la base y la altura del monte Everest (y 7000m). En este caso, cálculos análogos dan como resultado: P 0,42P0. 3.4. Principio de Arquímedes ”Cualquier cuerpo parcial o totalmente sumergido en un fluido es empujado hacia arriba por una fuerza que es igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo”. Además, la fuerza de empuje tiene una línea de acción que pasa por el centro de gravedad del fluido desalojado, es vertical y hacia arriba. La comprobación de este principio a partir de las leyes de Newton es sencilla. Cuando el objeto está sumergido, se encuentra en equilibrio traslacional y rotacional, al igual que el fluido inicialmente. La fuerza que el resto del fluido ejerce sobre el cuerpo es igual a la que ejerce sobre ese mismo volumen de fluido. Y esa fuerza coincide precisamente con el peso del fluido. Además debe estar dirigida hacia arriba y vale: fe = ρfgVf, donde ρf es la densidad del fluido y Vf el volumen desalojado.
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