CAPÍTULO 7 C ´ALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES

216 MATEMÁTICAS
(b)
(c)
(d)
xydxdy donde D =
D
(x, y) ∈ R2
0 x 3, 1 y 2
x
D
2ydxdy donde D = (x, y) ∈ R2
x + y 1,x 0,y 0
D
D
sen(x + y)dxdy donde D = (x, y) ∈ R2 π 0 x 2 , 0 y π
A.7.2. Calcular las siguientes integrales dobles:
(a) xydxdy donde D = (x, y) ∈ R
D
2 x>0,y >0, x2
a2 + y2
b2
1
(b) (x
D
2 − y2
)dxdy donde D = (x, y) ∈ R2 x 2
a2 + y2
b2
1
1
(c) (x+y) 2 dxdy donde D = (x, y) ∈ R2 x 2,y 2,x+ y 3
A.7.3. Calcular
xydxdy donde D es el triángulo de vértices A(0, −1), B(1, 0) y C(0, 3).
D
A.7.4. Calcular las siguientes integrales dobles:
xy
(a) 1+x
D
2 +y2 dxdy donde D = (x, y) ∈ R2
2 2 x 1,y 1,x + y 1
1
(b) (1+x+y)
D
2 dxdy donde D = (x, y) ∈ R2
x 0,y 0,x+ y 1
(c) xy
D
x2 +4y2dxdy donde D = (x, y) ∈ R2
2 2 x 0,y 0,x + y 1
A.7.5. Calcular, usando la integral doble, la expresión del área encerrada por la elipse de ecuación
x 2
a
2 + y2
=1.
b2 A.7.6. Calcular las siguientes integrales triples:
(a) zdxdydz donde D =
D
(x, y, z) ∈ R3 x + z 1,x 0,z y2 ,y 0
(b) yzdxdydz donde D =
D
(x, y, z) ∈ R3 y x2 ,z 0,y+ z 1
(c) xyzdxdydz donde D = (x, y, z) ∈ R
D
3 x 2
a2 + y2
b2 + z2
c2
1
(d) z
D
2dxdydz donde D = (x, y, z) ∈ R3
2 2 2 x + y + z 1
A.7.7. Dadas la integrales sucesivas
⎛
1
2x
⎞
⎝ f(x, y)dy⎠
dx y
0
x
1
0
⎡ ⎛
x
⎣ ⎝
0
x+y
0
⎞
⎤
f(x, y, z)dz⎠
dy⎦
dx,
exprésarlas respectivamente como una integral doble y otra triple de f(x, y) y f(x, y, z) sobre los recintos
apropiados.
A.7.8. Calcular las integrales introducidas en el ejercicio anterior para las funciones f(x, y) =e x+y y f(x, y, z) =
e x+y+z .
A.7.9. Calcular usando la integral triple una fórmula que calcule el volumen encerrado por el elipsoide de ecuación
x2 y2 z2
+ + =1.
a2 b2 c2