CAPÍTULO 7 C ´ALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES

CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES 211
=
=
3
0
z 2
2
y=2 2 y z
dz =
4 y=0
Siguiendo el procedimiento al que sometíamos a la integral doble, pasamos a continuación a introducir el concepto
de integral triple sobre conjuntos acotados más generales D ⊂ R 3 , los llamados conjuntos medibles Jordan.
z=3
z=0
= 9
2
Figura 7.3: Conjunto medible Jordan.
Consideramos ahora el plano x = x0 (paralelo al plano coordenado YZ) y supongamos además que el mencionado
plano corta a D en C(x0). En estas condiciones,supuestas las hipótesis de continuidad de la función en el
dominio y de las secciones C(x) al variar x entre [a, b], podemos calcular la integral triple de f(x, y, z) sobre D
de la siguiente forma:
Si desarrollamos el cálculo de la integral
b
f(x, y, z)dxdydz =
D
a
3
0
zdz
f(x, y, z)dydz dx
C(x)
f(x, y, z)dydz,
C(x)
suponiendo que las paralelas al eje OZ cortan a C(x) en puntos en los que las cotas alcanzadas en el mencionado
eje sean z1(x0,y0) y z2(x0,y0), se tiene entonces
⎛
⎞
y2(x) z2(x,y)
⎜
⎟
f(x, y, z)dydz = ⎝ f(x, y, z)dz⎠
dy,
C(x)
de donde finalmente tendremos que
f(x, y, z)dxdydz =
D
=
b
a
b
a
y1(x)
⎡
⎢
⎣
y2(x)
y1(x)
z1(x,y)
f(x, y, z)dydz dx
C(x)
⎛
⎞ ⎤
z2(x,y)
⎜
⎟ ⎥
⎝ f(x, y, z)dz⎠
dy⎦
dx.
z1(x,y)