CAPÍTULO 7 C ´ALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES

210 MATEMÁTICAS
Observa que por la simetría del recinto se tiene
1
2
π
2
0
9sen2θ cos2 θ
(sen3 θ +cos3 dθ =
θ)
y haciendo el cambio de variable tan θ = t, dt = 1
expresiones):
2.2. Integrales triples
cos 2 θ
π
4
9sen
0
2 θ cos2 θ
(sen3 θ +cos3 dθ =
θ) 2
=
π
4
0
9sen 2 θ cos 2 θ
(sen 3 θ +cos 3 θ) dθ
dθ, obtenemos (intentando antes simplificar algo las
π
4
9sen
0
2 θ cos2 θ
cos6 θ (1 + tan3 dθ
θ) 2
π
4
9sen
0
2 θ
cos4 θ (1 + tan3 dθ
θ) 2
= 9
0
1
t2 (1 + t3 dt
) 2
1
= −3
1+t3 t=1 t=0
= 3
2 .
Procedemos de forma análoga a las integrales dobles, esta vez refiriéndonos a funciones de tres variables definidas
sobre un recinto del espacio R. Seaf(x, y, z) una función contínua para los valores (x, y, z) ∈ R donde
R = (x, y, z) ∈ R 3 a x b, c y d, e z f =[a, b] × [c, d] × [e, f].
Con las consideraciones de continuidad para f(x, y, z) y las consecuencias posteriores de integrabilidad similares
a las hechas para la integral doble, se tiene que la integral triple sobre el paralelepípedo R de la función f(x, y, z)
se puede expresar como
⎡ ⎛
⎞ ⎤
f
d
b
f(x, y, z)dxdydz = ⎣ ⎝ f(x, y)dx⎠
dy⎦
dz.
R
e
El Teorema de Fubini también se cumple ahora. Es decir, podremos cambiar el orden de las diferentes integrales
sin que esto afecte al valor final de la integral triple.
Ejemplo. Sea R =[0, 1] × [0, 2] × [0, 3] y f(x, y, z) =xyz. Entonces
⎡ ⎛
3
2
1
⎞ ⎤
xyzdxdydz = ⎣ ⎝ xyzdx⎠
dy⎦
dz
R
=
=
0 0 0
⎡
⎤
3
2
x=1
2
⎣
x yz
dy⎦
dz
2 x=0
0 0
⎛
3
2
⎝
yz
2 dy
⎞
⎠ dz
0
c
0
a