CAPÍTULO 7 C ´ALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES

212 MATEMÁTICAS
Obsérvese que también aquí se puede intercambiar el orden de las integraciones, es decir, podemos partir de
secciones de D paralelas al plano XY (C(z0)) o paralelas al plano XZ (C(y0)), sin que esto varíe nuestro
razonamiento en lo que al proceso se refiere.
Ejemplo. Vamos a calcular
x
D
2 yzdxdydz,
siendo
D = (x, y, z) ∈ R 3 x 2 + y 2 1, 0 z 1,x 0,y 0
(la parte del cilindro de base el círculo de centro el origen y radio 1 y de altura igual a 1, que está contenida
en el primer octante). Consideremos ahora secciones C(z0) por planos paralelos al XY , de ecuaciones z = z0,
variando z en el intervalo [0, 1]. Así obtenemos lo siguiente:
x
D
2 yzdxdydz =
=
=
=
=
=
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
⎡
⎢
⎣
⎡
⎣
1
x
C(z)
2 yzdxdy
⎛
⎜
⎝
√ 1−x 2
dz
⎞
x 2 ⎟ ⎥
yzdy⎠
dx⎦
dz
0 0
1
y= 2 2 x y z
√ 1−x2 0
1
⎡
⎣
0
1
⎡
⎣
a
0
2
y=0
(1 − x 2 )x 2 z
2
3 z x x5
−
2 3 5
z 1
dz =
15 15
z 2
2
⎤
dx⎦
dz
x=1
x=0
z=1
z=0
⎤
⎤
dy⎦
dz
⎤
⎦ dz
= 1 1 1
=
15 2 30
Se puede pensar en intercambiar el orden de las integrales simples para intentar facilitar el proceso de cálculo.
Veamos:
b
f(x, y, z)dxdydz =
f(x, y, z)dydz dx
D
=
C(x)
a
⎡ ⎛
⎞ ⎤
b
y2(x) z2(x,y)
⎢ ⎜
⎟ ⎥
⎣ ⎝ f(x, y, z)dz⎠
dy⎦
dx
=
y1(x)
πXY (D)
z1(x,y)
⎡
⎢
⎣
z2(x,y)
z1(x,y)
⎤
⎥
f(x, y, z)dz⎦
dxdy,
donde se puede observar que hemos empezado por una integral simple y después integramos el resultado sobre
πXY (D) que indica la proyección de D sobre el plano XY .
Naturalmente todo el anterior procedimiento se puede hacer análogamente integrando primero sobre x y después
integrando sobre πYZ(D) (proyección de D sobre YZ), o bien integrando primero sobre y y después sobre
πXZ(D).