CAPÍTULO 7 C ´ALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES

CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES 209
2.1.2. Cálculo de áreas usando integrales dobles
Conviene reflexionar sobre el significado geométrico de la expresión
dxdy.
D
• Dado el rectángulo R = (x, y) ∈ R2 a x b, c y d
=[a, b]×[c, d] ¿qué significado geométrico
tiene dxdy?
R
• Y si ahora ponemos R = (x, y) ∈ R2
2 2 x + y 1 ¿qué significado piensas que tiene dxdy? (Es
R
más facil que lo pienses en coordenadas polares).
• Finalmente generaliza los resultados obtenidos al caso de un recinto D.
Para ilustrar las reflexiones que te hemos propuesto anteriormente te presentamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo. Vamos a calcular el área del lóbulo del folium de Descartes (ver Figura 7.2) de ecuación en coordenadas
polares
3senθ cos θ
r =
sen3 θ +cos3 π
, 0 θ
θ 2 .
Figura 7.2: Folium de Descartes.
En nuestro caso se tiene que el área vendría expresada por la siguiente integral doble:
π
2
0
⎡
⎢
⎣
3senθ cos θ
sen 3 θ+cos 3 θ
0
⎤
⎥
rdr⎥
⎦ dθ =
=
π
2
0
= 1
2
r 2
2
r= 3senθ cos θ
sen3 θ+cos3 θ
r=0
dθ
π
2
9sen
0
2 θ cos2 θ
2(sen3 θ +cos3 dθ
θ) 2
π
2
0
9sen2θ cos2 θ
(sen3 θ +cos3 dθ.
θ) 2