Problemas resueltos de Cálculo Numérico

10 1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO NUMÉRICO
partiendo de a0 = 1, b0 = 4. Los valores an y bn se eligen en cada paso de forma que f(an)f(bn) <
0. Los cálculos realizados se recogen en la siguiente tabla.
La solución vendrá dada por
n an bn xn f(an) f(bn) f(xn)
0 1.0000 4.0 1.5454 -6.0000 27.0 -6.0856
1 1.5454 4.0 1.9969 -6.0856 27.0 -5.0122
2 1.9969 4.0 2.3105 -5.0122 27.0 -3.3420
3 2.3105 4.0 2.4966 -3.3420 27.0 -1.9043
4 2.4966 4.0 2.5957 -1.9043 27.0 -0.98648
5 2.5957 4.0 2.6452 -0.98648 27.0 -0.48559
x 2.6452
Observación: Si nos fijamos en la tabla anterior se observa que en cualquier iteración, bn = b0
y an+1 = xn. Esta situación se podía haber previsto inicialmente por la convexidad de la función
f. De esta forma las aproximaciones se podrían calcular directamente a partir de la fórmula
xn = xn−1 − f(xn−1)(b − xn−1)
f(b) − f(xn−1)
, n = 0, 1, · · ·
tomando x−1 = a0 = 1.
12. Encontrar un valor aproximado de 3√ 2 mediante el método de bisección y el método de la
secante.
SOLUCIÓN:
Consideramos la función f(x) = x 3 − 2 y buscamos un intervalo donde haya alternancia de signo
f(1) = −1 , f(1.5) = 1.375
El teorema de Bolzano nos garantiza la existencia de al menos una solución en el intervalo [1, 1.5].
Además, puesto que
f ′ (x) = 3x 2 = 0 , ∀x ∈ [1, 1.5]
la solución será única.
Método de bisección: Partiendo de a0 = 1, b0 = 1.5 generamos las aproximaciones
xn = an + bn
2
donde an y bn se eligen de forma que en cualquier iteración se cumpla que f(an)f(bn) < 0. Los
cálculos efectuados se recogen en la siguiente tabla
n an bn xn f(an) f(bn) f(xn)
0 1.0 1.5 1.25 -1.000 1.375 -0.046
1 1.25 1.5 1.375 -0.046 1.375 0.599
2 1.25 1.375 1.3125 -0.046 0.599 0.260
3 1.25 1.3125 1.28125 -0.046 0.260 0.103
4 1.25 1.28125 1.265625 -0.046 0.103 0.0272
5 1.25 1.265625 1.2578125 -0.046 0.027 -0.01
6 1.2578125 1.265625 1.26171875 -0.010 0.027 0.008
7 1.2578125 1.26171875 1.259765625 -0.010 0.008 -0.0007
8 1.259765625 1.26171875 1.2607421875 -0.0007 0.008 0.003
9 1.259765625 1.2607421875 1.26025390625 -0.0007 0.003 0.001
10 1.259765625 1.26025390625 1.260009765625 -0.0007 0.001 0.0004