Problemas resueltos de Cálculo Numérico

12 1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO NUMÉRICO
partiendo de un punto inicial x0 ∈ [3, 4] tal que f(x0)f ′′ (x0) > 0. Puesto que f ′′ (x) = −1/x 2
podemos tomar como punto de arranque x0 = 4.
x0 = 4
x1 = x0 − f(x0)
f ′ f(4)
= 4 −
(x0) f ′ = 3.181725815
(4)
x2 = x1 − f(x1)
f ′ f(3.181725815)
= 3.181725815 −
(x1) f ′ = 3.146284844
(3.181725815)
x3 = x2 − f(x2)
f ′ f(3.146284844)
= 3.146284844 −
(x2) f ′ = 3.146193221
(3.146284844)
14. Resolver la ecuación diferencial
SOLUCIÓN:
y ′′′ + y ′′ − 3y ′ − y = 0.
El conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial anterior se obtiene resolviendo
la ecuación característica
r 3 + r 2 − 3r − 1 = 0.
Dado que la ecuación es polinómica de grado impar sabemos que tiene al menos una solución
real. Las posibles soluciones racionales de esta ecuación son ±1. La comprobación mediante la
regla de Ruffini nos revela que ninguna de ellas es solución. Hemos de buscar, por tanto, raíces
irracionales. En este caso, la regla de Ruffini no es operativa. Afortunadamente podemos obtener
una solución aproximada utilizando el método de Newton-Raphson.
Comenzamos definiendo la función f(r) = r 3 + r 2 − 3r − 1 y buscamos un intervalo donde haya
alternancia de signo.
f(1) = −2 , f(2) = 5
Tenemos, por tanto, asegurada la existencia de solución en el intervalo [1, 2]. Además,
f ′ (r) = 3r 2 + 2r − 3
cuyas raíces son −1.38742588672 y 0.72075922005, por lo que f ′ (x) = 0, ∀x ∈ [1, 2]. Esto nos
garantiza que la solución en [1, 2] es única. Generamos las aproximaciones
rn+1 = rn − f(rn)
f ′ , n = 0, 1, · · ·
(rn)
partiendo de un punto r0 ∈ [1, 2] tal que f(r0)f ′′ (r0) > 0.