Problemas resueltos de Cálculo Numérico

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6 1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO NUMÉRICO Construimos la siguiente tabla Ti Ri T 2 i TiRi 10.50 10.421 110.25 109.4205 29.49 10.939 869.6501 322.59111 42.70 11.321 1823.29 483.4067 60.01 11.794 3601.2001 707.75794 75.51 12.242 5701.7601 924.39242 91.05 12.668 8290.1025 1153.4214 309.26 69.385 20396.2628 3700.99107 Por tanto, el sistema que tenemos que resolver será, 6a + 309.26b = 69.385 309.26a + 20396.2628b = 3700.99107 ⇒ Luego, la solución vendrá dada por R = 10.1222293891 + 0.0279752430495 T a = 10.1222293891 b = 0.0279752430495 7. Aproximar mediante los mínimos cuadrados un polinomio de grado dos a los siguientes datos xi 1 2 4 10 16 yi 6 1 2 4 5 SOLUCIÓN: Se trata de ajustar una función del tipo i=1 x 2 i i=1 x 3 i y = a + b x + c x 2 al conjunto de datos (xi, yi). Matricialmente el sistema que tenemos que resolver vendrá dado por ⎛ 5 5 5 ⎜ 1 xi x ⎜ i=1 i=1 i=1 ⎜ ⎝ 2 i 5 5 xi x i=1 i=1 2 5 i x i=1 3 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎟ ⎜ yi ⎟ ⎟ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ i=1 ⎟ ⎟ a ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 5 ⎟ i ⎟ ⎝ b ⎠ = ⎜ xiyi ⎟ ⎟ ⎜ 5 5 5 ⎟ c i=1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ Construimos la siguiente tabla i=1 x 4 i i=1 xi yi x 2 i x 3 i x 4 i xiyi x 2 i yi 1 6 1 1 1 6 6 2 1 4 8 16 2 4 4 2 16 64 256 8 32 10 4 100 1000 10000 40 400 16 5 256 4096 65536 80 1280 33 18 377 5169 75809 136 1722 x 2 i yi
1. INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN 7 Por tanto, el sistema que tenemos que resolver será, ⎧ ⎨ ⎩ 5a + 33b + 377c = 18 33a + 377b + 5169c = 136 377a + 5169b + 75809c = 1722 Luego, la solución vendrá dada por 8. Hallar la función del tipo ⇒ ⎧ ⎨ ⎩ y = 4.08582 − 0.45685x + 0.03355x 2 a = 4.08582 b = −0.45685 c = 0.03355 g(x) = a √ x + b x que mejor se ajuste, mediante el criterio de los mínimos cuadrados, a los datos SOLUCIÓN: (1, 2) , (2, 4) , (3, 0). Matricialmente el sistema que tenemos que resolver vendrá dado por ⎛ ⎜ ⎝ 3 xi i=1 3 3 1 √ xi i=1 3 1 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ a ⎜ ⎟ = ⎜ ⎠ b ⎜ ⎝ 3 √ xi yi i=1 3 1 ⎞ ⎟ ⎠ i=1 √ xi x i=1 2 i yi xi i=1 Construimos la siguiente tabla xi 1/ √ xi 1/x2 1 1 i 1 √ xi yi 2 yi/xi 2 2 0.7071 0.25 5.65685 2 4 0.5 0.0625 0 0 7 2.20711 1.3125 7.65685 4 Por tanto, el sistema que tenemos que resolver será, 7a + 2.20711b = 7.65685 2.20711a + 1.3125b = 4 Luego, la solución vendrá dada por ⇒ y = 0.43556 √ x + 2.20774 x . a = 0.43556 b = 2.20774 9. En la siguiente tabla aparecen recogidos los datos de población de un pequeño barrio de una ciudad en un periodo de 20 años. Como ingeniero que trabaja en una compañía de servicio debes pronosticar la población que habrá dentro de 5 años, para poder anticipar la demanda de energía. Emplea un modelo exponencial y regresión lineal para hacer esta predicción. t 0 5 10 15 20 p 100 212 448 949 2009
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