Problemas resueltos de Cálculo Numérico

18 1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO NUMÉRICO
La recta buscada vendrá dada por y(x) = 1 1
− x. Por lo tanto,
2 2
3 3 3
1 1
f(x)dx y(x)dx = −
2 2 x
dx = − 3
4
0
0
0
(c) Podemos dividir el intervalo [0, 3] en 3 subintervalos utilizando los puntos 0, 1, 2, 3. Aplicamos
sobre cada uno de ellos la regla del trapecio.
3
0
f(x)dx =
1
0
1
2
f(x)dx +
2
1
(f(0) + f(1)) + 1
2
f(x)dx +
3
2
f(x)dx
1
(f(1) + f(2)) + (f(2) + f(3))
2
= 1
1
(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) = (2 − 4 − 2 + 0)= −2
2 2
Aplicar la fórmula del trapecio compuesta equivale a calcular la integral de la poligonal que
pasa por los puntos (xi, f(xi)).
Observemos que los resultados obtenidos son bastante dispares dependiendo del método que hemos
elegido. ¿Cuál es el valor más exacto?. Para dar respuesta a esta pregunta necesitaríamos conocer
información adicional sobre la función f o sobre la naturaleza de los datos que estamos manejando.
20. Encontrar las constantes A, B y C para que la fórmula de integración numérica
2
1
f(x)dx Af(0) + Bf(1) + Cf(2)
sea exacta para toda función polinómica de grado menor o igual que 2.
SOLUCIÓN:
En particular, la fórmula pedida deberá ser exacta para las funciones {1, x, x 2 }. Por lo tanto,
f(x) = 1 ⇒
f(x) = x ⇒
f(x) = x 2 ⇒
2
1
2
1
2
Resolviendo el sistema se obtiene
A = −1 2
, B =
12 3
La fórmula de integración vendrá dada por
2
1
1
dx = A · 1 + B · 1 + C · 1 ⇒ A + B + C = 1
1
x dx = A · 0 + B · 1 + C · 2 ⇒ B + 2C =
2 x2
x 2 dx = A · 0 + B · 1 + C · 4 ⇒ B + 4C =
, C = 5
12 .
f(x) dx = − 1 2 5
f(0) + f(1) + f(2) .
12 3 12
2
1
3 x3
= 3
2
1
2 1
= 7
3