Problemas resueltos de Cálculo Numérico

22 1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO NUMÉRICO
partiendo de y0 = y(1) = 2. En este caso, xk = 1 + k h. Las aproximaciones obtenidas se recogen
en la siguiente tabla
k xk yk
0 1 0
1 1.2 0.2
2 1.4 0.4442805516
3 1.6 0.7561541331
4 1.8 1.182167831
5 2. 1.834455188
El valor aproximado de y(2) obtenido viene dado por
y(2) 1.834455188
25. Utilizar el método de Euler mejorado con h = 0.2 para obtener un valor aproximado de
y(1) en el problema de valores iniciales
Comparar con el resultado exacto.
SOLUCIÓN:
y ′ = 3x 2 , y(0) = 0.
La solución de la ecuación diferencial y ′ = 3x 2 viene dada por y = x 3 + c. Al imponer la condición
inicial, y(0) = 0, se obtiene y = x 3 .
Consideramos ahora la función f(x, y) = 3x 2 . Las aproximaciones generadas por el método de
Euler mejorado o método del trapecio vienen dadas por
yk+1 = yk + h
2 [f(xk, yk) + f(xk + h, yk + h f(xk, yk))] , k = 0, 1, · · ·
partiendo de y0 = y(0) = 0, donde xk = k h. En la práctica se calcula yk+1 en la forma
donde
yk+1 = yk + h
2 (K1 + k2)
K1 = f(xk, yk) K2 = f(xk + h, yk + h K1).
Las aproximaciones obtenidas se recogen en la siguiente tabla
k xk K1 K2 yk y(xk) |yk − y(xk)|
0 0 0 0 0
1 0.2 0 0.12 0.012 0.008 0.004
2 0.4 0.12 0.48 0.072 0.064 0.008
3 0.6 0.48 1.08 0.228 0.216 0.012
4 0.8 1.08 1.92 0.528 0.512 0.016
5 1. 1.92 3. 1.02 1. 0.02
26. Utilizar el método de Runge-Kutta para obtener un valor aproximado de y(0.5) para el
siguiente problema de valor inicial y comparar con la solución exacta.
SOLUCIÓN:
y ′ = y 2 , y(0) = 1 , h = 0.1
Resolviendo la ecuación diferencial por separación de variables se obtiene
dy
y
1
−1
= dx ⇒ − = x + c ⇒ y =
y x − c