Problemas resueltos de Cálculo Numérico

14 1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO NUMÉRICO
y buscamos un intervalo donde haya alternancia de signo
f(25) = 0.0233348 , f(26) = −0.00145126.
Luego existe una solución en el intervalo [25, 26]. Además,
f ′ [t] = 0.00445454545454 −
lo que nos asegura que la solución buscada es única.
Generamos las aproximaciones mediante el algoritmo
67
= 0 , ∀t > 0,
4000 − 67t
tn+1 = tn − f(tn)
f ′ , n = 0, 1, · · ·
(tn)
partiendo de un punto inicial t0 ∈ [25, 26] tal que f(t0)f ′′ (t0) > 0. En nuestro caso f ′′ (t) =
−4489/(4000 − 67t) 2 , por lo que f(26)f ′′ (26) > 0 y podemos tomar, t0 = 26.
t0 = 26
t1 = t0 − f(t0)
f ′ f(26)
= 26 −
(t0) f ′ = 25.9424508478
(26)
t2 = t1 − f(t1)
f ′ f(25.9424508478)
= 25.9424508478 −
(t1) f ′ = 25.9423929821
(25.9424508478)
t3 = t2 − f(t2)
f ′ f(25.9423929821)
= 25.9423929821 −
(t2) f ′ = 25.9423929820
(25.9423929821)
La solución aproximada será t 25.9423929820.
3. Derivación e Integración Numérica
16. Obtener la derivada segunda en x = 3.7 para la función f(x) de la que se conocen los
siguientes datos
xi 1 1.8 3 4.2 5
f(xi) 3.00 4.34 6.57 8.88 10.44
SOLUCIÓN:
Calculamos el polinomio de interpolación de la función f para el conjunto de datos.
xi f(xi)
1.0
1.8
3.0
4.2
5.0
3.00
4.34
6.57
8.88
10.44
1.675
1.85833
1.925
1.95
0.0916667
0.027778
0.0125
-0.0199653
-0.00477431
0.00379774
El polinomio de interpolación vendrá dado por
p(x) = 3 + 1.675(x − 1) + 0.0916667(x − 1)(x − 1.8) −
0.0199653(x − 1)(x − 1.8)(x − 3) +
0.00379774(x − 1)(x − 1.8)(x − 3)(x − 4.2)
= 1.68395 + 1.03148 x + 0.338715 x 2 − 0.0579427 x 3 + 0.00379774 x 4