métodos cuasi-analíticos

{ }
2
' ' ' ' '
( i) ≤ ( i) ; ∀ i∈
( min, − ) ∪(
max,
+ )
F u Masc u u u HBW u HBW
i = 1,2... G
( )
MÉTODOS ESTOCÁSTICOS
(1.3.12)
Im⎡⎣F 0 ⎤⎦
= 0
(1.3.13)
0 < z < L ; ∀ n= 2,3,... N
(1.3.14)
n
Como se demuestra en [11], para cualquier conjunto fijo de posiciones, el problema de
calcular las excitaciones (ec. 1.3.7) sometido a unas restricciones (ec. 1.3.12-14) da
lugar a un problema de programación convexo (PPC). Además, este problema presenta
un único mínimo; el mínimo global, si se fija la posición de las excitaciones. Nótese que
este valor óptimo se alcanza en un único punto o en un subconjunto convexo del
conjunto de excitaciones.
Por otro lado, la ecuación 1.3.7 y las restricciones 1.3.8-9 no son convexas con respecto
a la posición de los elementos, así que todo problema de optimización puede admitir
varios óptimos locales y las técnicas de optimización global tienen que usarse para
escoger la mejor solución. Haciendo esto, la eficiencia se puede incrementar debido a la
propia convexidad del problema con respecto a las variables de excitación.
Consideremos un conjunto genérico de posiciones ( z z z )
Ω = = 0, ... , que satisfacen
z 1 2 N
la restricción 1.3.14, de una agrupación de N elementos. Para cada conjunto arbitrario
Ω z de posiciones y en virtud de los resultados encontrados en [11], las restricciones que
aparecen en las ecuaciones 1.3.12-13 definen un conjunto convexo que definimos como
A = A Ω que definimos como:
C. Introduzcamos una función auxiliar ( )
( )
u u z
{ ( ) }
Au Ω z = MIN Re⎡ ' ' ' ⎣F 0 ⎤⎦
(1.3.15)
( Ω I '= ( I1, I2,... IN ) ) ∈C
Donde la función Au = Au(
Ω z)
nos da el valor óptimo de Re F ( 0)
su valor mínimo para el conjunto dado de posiciones, Ω z.
Aunque u( z)
una expresión cerrada en términos de ( z 0, z ... z ) ,
z 1 2 N
⎡⎣ ⎤⎦
que coincide con
A Ω no tiene
Ω = = ésta se puede computar de
una forma conceptual resolviendo el problema de programación convexa, PPC, en el
lado derecho de ec. 1.3.15. La solución se consigue después de utilizar las librerías
A Ω y el conjunto de excitaciones
numéricas de Matlab [17] que dan un valor de ( )
u z
óptimas ' . Ω I Como consecuencia, todo el problema se reduce ahora a aplicar una
optimización global de la función A = A ( Ω ).
u u z
Ahora hay que decidir qué técnica de optimización global adoptar. La evaluación de la
A Ω implica la solución de un PPC; los algoritmos genéticos
función auxiliar ( )
u z
requieren la computación de la función objetivo para cada elemento de la población (en
cada iteración) lo que podría dar lugar a una excesiva carga computacional. El
“simulated annealing”, SA, [18-19] parece más adecuado para resolver este tipo de
problemas por lo que se ha sido elegido.
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