Ejercicios resueltos

Ejercicio 67 Sea f : R → R medible y a ∈ R. Demostrar que
∞
−∞
f(x)dm =
∞
−∞
f(x − a)dm,
en el sentido de que si una integral existe también la otra y coinciden.
Ejercicio 68 Sea f : R → R medible tal que e tx f(x) es integrable para
todo t ∈ (a, b) ⊂ R. Demostrar que F (t) = e tx f(x) dm es diferenciable
y que F ′ (t) = x e tx f(x) dm.
Ejercicio 69 Demostrar que para t ≥ 0 y 0 ≤ α ≤ 1, la sucesión (1 +
(t/n) α ) n es creciente y para 1 ≤ α, (1 − (t/n) α ) n también es creciente.
Ejercicio 70 Demostrar que
(a) lím
n→∞
(b) lím
n→∞
n
1
1
0
(1 − (t/n)) n log t dm =
(1 − (t/n)) n log t dm =
∞
1
1
0
e −t log t dm.
e −t log t dm.
Ejercicio 71 Sea f no negativa e integrable, con 0 < f dµ = c < ∞ y
sea 0 < α < ∞. Demostrar que
⎧
α ⎪⎨ ∞, si 0 < α < 1,
f
lím n log 1 + dµ = c, si α = 1,
n→∞
n ⎪⎩
0, si 1 < α < ∞.
Ejercicio 72 Demostrar que si f es µ–integrable, entonces para cada
ɛ > 0, existe un δ > 0, tal que
µ(E) < δ ⇒ |f| dµ < ɛ.
Ejercicio 73 Demostrar que si f : R → R es Lebesgue integrable F (x) =
f dm es uniformemente continua.
x
−∞
Ejercicio 74 Demostrar que si F : (Ω, A, µ) → (Ω ′ , A ′ ) es medible, µF =
F∗µ, para µF (B) = µ[F −1 (B)], es una medida, llamada medida imagen,
para la que se verifica que si g es medible en Ω ′ y B ∈ A ′ , entonces
B
g dµF =
E
F −1 (B)
(g ◦ T ) dµ.
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