Ejercicios resueltos

cada A ∈ X , los B que están a distancia finita de A es un abierto
y que estos abiertos o coinciden o son disjuntos y descomponen X en
componentes abiertas que sí son espacios métricos y son tales que la
aplicación A ∈ X → A c ∈ X es una isometría que lleva una componente
en otra (si µ(Ω) = ∞) y las aplicaciones de X × X → X
son continuas.
(A, B) → A ∪ B, (A, B) → A ∩ B, (A, B) → A△B,
Ejercicio 27 Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida y sea Aµ su compleción
y µ ∗ la medida exterior generada por µ. Demostrar que para cada
A ⊂ Ω:
µ ∗ (A) = ínf{µ(B) : B ∈ A, A ⊂ B},
y que si definimos la “medida interior”
µ∗(A) = sup{µ(B) : B ∈ A, B ⊂ A},
entonces si A ∈ Aµ se tiene que µ∗(A) = µ ∗ (A) = µ(A) y recíprocamente
si µ∗(A) = µ ∗ (A) < ∞ entonces A ∈ Aµ.
Ejercicio 28 Demostrar que la compleción de una medida regular es
regular.
Ejercicio 29 Sean µi : B(R) → [0, ∞], para i = 1, . . . , n medidas de
Lebesgue–Stieltjes. Demostrar que existe una única medida µ: B(R n ) →
[0, ∞], tal que para cada semi–rectángulo acotado (a, b],
µ(a, b] = µ1(a1, b1] · · · µn(an, bn].
Ejercicio 30 Demostrar que toda medida en B(R n ) de Lebesgue–Stieltjes
es σ–finita. Encontrar una que sea σ–finita pero no de Lebesgue–Stieltjes.
Encontrar una que sea σ–finita pero no regular.
Ejercicio 31 Demostrar que toda medida semifinita µ: B(R n ) → [0, ∞]
es regular interior.
Ejercicio 32 Demostrar que para a < b ∈ R n y la medida de Lebesgue
n–dimensional
m(a, b) = m[a, b) = m(a, b] = m[a, b].
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