Ejercicios resueltos

Ejercicio 123.- Demostrar que si λ1 y λ2 son complejas y λ1 ⊥ λ2, entonces
|λ1 + λ2| = |λ1| + |λ2|.
Ind. Existe un medible A tal que para cada medible B, λ1(B) = λ1(B ∩ A) y
λ2(B) = λ2(B ∩ A c ), además
|λ1 + λ2|(B) = |λ1 + λ2|(B ∩ A) + |λ1 + λ2|(B ∩ A c )
= |λ1|(B ∩ A) + |λ2|(B ∩ A c ) = |λ1|(B) + |λ2|(B),
pues si Ai ⊂ B∩A, |λ1(Ai)+λ2(Ai)| = |λ1(Ai)| y si Ai ⊂ B∩A c , |λ1(Ai)+λ2(Ai)| =
|λ2(Ai)|. Termínelo el lector.
Ejercicio 124.- Calcular el área y el volumen de la elipse y elipsoide respecti-
vamente
x 2
a
2 + y2
= 1,
b2 x 2
a
b
y2 z2
+ + 2 2
= 1.
c2 Ind. Consideremos la aplicación lineal
T : R 2 → R 2 ,
a
(x, y) →
0
0 x
=
b y
ax
,
by
que para E = {(x, y) ∈ R2 : x2
a2 + y2
b2 ≤ 1}, y B = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1}, T (B) = E,
por tanto
m[E] = m[T (B)] = | det T |m[B] = abπ.
Ejercicio 127.- (a) Demostrar que el área de la esfera de radio r es 4πr 2 .
(b) Demostrar que el área del casquete esférico de radio r y altura h es 2πrh.
Ind. Basta demostrar (b). La proyección del casquete es el círculo de radio k =
√ 2rh − h 2 , pues k 2 + (r − h) 2 = r 2 , y su área es para z(x, y) = r 2 − x 2 − y 2 y
U = {x 2 + y 2 ≤ k 2 }
U
1 + z2 x + z2
dx dy
y dx dy = r
U r2 − x2 − y2 ,
y por el teorema de cambio de variable para F = (f1, f2): V = (0, k) × (0, 2π) → R2 ,
F (ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ), como F (V ) = U = {x2 + y2 ≤ k2 } y J(DF (ρ,θ)) =
|f1ρf2θ − f1θf2ρ| = ρ,
dx dy
ρ dρ dθ
k r = r = −2π r r2 − ρ2 = 2π r h.
F (V ) r2 − x2 − y2 V r2 − ρ2 0
Ejercicio 128.- Demostrar que para una rotación o una traslación T : R n → R n ,
el centro de masas C(B) de un boreliano B satisface T [C(B)] = C[T (B)].
Ind. Una traslación o una rotación T , conserva las medidas de Hausdorff, (T∗(Hk) =
Hk), por tanto
T (B)
xi[C(T (B))] =
xi dHk
Hk[T (B)] =
B xi ◦ T dHk
,
Hk(B)
y si T (x) = x + a es una traslación, xi ◦ T = xi + ai y xi[C(T (B))] = xi[C(B)] +
ai = xi[T (C(B))]; y si T (p) = ( aijpj) es una rotación, xi ◦ T = aijxj y
xi[C(T (B))] = aijxj[C(B)], por tanto C[T (B)] = T [C(B)].
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