Ejercicios resueltos

y el resultado se sigue pues la función e−x/2 es Lebesgue integrable en [1, ∞), pues
es no negativa y tiene integral impropia de Riemann ya que
(e −x/2 ) ′ = − e −x/2 ∞
/2 ⇒ e
1
−x/2 = 2 e −1/2 .
Ejercicio 88.- Sea k ∈ R y r > 0. Demostrar que
r
0
x k dm < ∞ ⇔ −1 < k
∞
x k dm < ∞ ⇔ k < −1
r
Ind. Es una simple consecuencia de que para 0 < a < b
b
x
a
k
=
k+1 k+1
b −a
, k+1
log b/a,
k + 1 = 0
k + 1 = 0
, lím
a→0 + ak+1 ⎧
⎨
=
⎩
∞,
1,
0,
k + 1 < 0
k + 1 = 0
0 < k + 1
y de que límb→∞ log b = ∞ y lím a→0 + log a = −∞.
Ejercicio 89.- Sean Ω1 y Ω2 espacios topológicos. Demostrar que:
(a) B(Ω1) ⊗ B(Ω2) ⊂ B(Ω1 × Ω2).
(b) Si sus topologías tienen bases numerables, B(Ω1) ⊗ B(Ω2) = B(Ω1 × Ω2).
Solución.- (a) Como las proyecciones πi : Ω1 × Ω2 → Ωi son continuas son
B(Ω1 × Ω2)–medibles, por tanto dados A ∈ B(Ω1) y B ∈ B(Ω2),
A × B = π −1
1 (A) ∩ π−1
2 (B) ∈ B(Ω1 × Ω2),
y se sigue la inclusión de (a).
(b) Si Ci es una base numerable de la topología Ti de Ωi,
C = {U × V : U ∈ C1, V ∈ C2} ⊂ B(Ω1) ⊗ B(Ω2),
es una base numerable de la topología producto T , por tanto
y se sigue el resultado.
T ⊂ σ(C) ⊂ B(Ω1) ⊗ B(Ω2),
Ejercicio 92.- Sea f : R 2 → R, tal que fx es Borel medible para cada x y f y
continua para cada y. Demostrar que f es Borel medible.
Ind.- Basta observar que la sucesión de funciones medibles
fn(x, y) =
∞
i=−∞
f(i/n, y)I ( i−1
n , i n ](x),
verifica fn → f, pues fn(x, y) = f(xn, y), para un xn = i/n tal que |xn − x| ≤ 1/n.
Ejercicio 93.- Demostrar que para cada r > 0 y A ∈ B(R n ) es medible la
función de R n , f(x) = m[A ∩ B[x, r]].
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