Ejercicios resueltos

son medibles.
Ind. El primer conjunto es medible porque en él h < ∞, −∞ < g y en este
conjunto existe g − h que es medible, ó también porque
{x ∈ Ω : h(x) < g(x)} =
({h(x) < r} ∩ {r < g(x)}) ,
r∈Q
el segundo porque su complementario lo es y el tercero es la diferencia.
Ejercicio 51.- Si f : R → R tiene derivada en todo punto, demostrar que f ′ es
Borel medible.
Solución.- Si f es derivable es continua y por tanto medible, como también lo
es fn(x) = n[f(x + 1/n) − f(x)] y como fn → f ′ , f ′ es medible.
Ejercicio 52.- Demostrar que f = (f1, . . . , fn): (Ω, A) → (R n , B(R n )) es medible
si y sólo si cada fi lo es.
Solución.- Si f es medible, fi = xi ◦ f es medible por que las proyecciones
xi : Rn → R son continuas y por tanto medibles. Recíprocamente sea (a, b] un semi–
rectángulo, con a < b ∈ Rn , entonces
f −1 n
(a, b] = {x ∈ Ω : a < f(x) ≤ b} = {x ∈ Ω : ai < fi(x) ≤ bi} ∈ A,
i=1
y como estos semi–rectángulo generan B(R n ), f es medible.
Ejercicio 53.- Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida y f = ∞
n=1 anIAn, con
an ∈ (0, ∞) y An ∈ A, calcular f dµ.
Ind. fn = fn.
Ejercicio 54.- Sea f ≥ 0 integrable. Demostrar que ∀ɛ > 0 existe un medible
A, con µ(A) < ∞ tal que f <
f + ɛ.
A
Ind. An = {1/n ≤ f} ↑ A = {0 < f}, µ(An) < ∞ y
f ↑ A f = f.
Ejercicio 58.- Sean f, fn ≥ 0 integrables, tales que fn → f c.s. Demostrar que
fn → f sii |fn − f| → 0.
Ind. Por el TCD, pues −f ≤ fn −|f −fn| ≤ f, por tanto fn − |fn −f| → f.
Ejercicio 60.- Sean f, fn integrables, tales que fn → f c.s. Demostrar que
|fn − f| → 0 sii |fn| → |f|.
Ind. Por el TCD pues −|f| ≤ |fn|−|fn −f| ≤ |f|, por tanto |fn|− |fn −f| →
|f|.
Ejercicio 66.- Calcular:
lím
n→∞
An
1
(1 + nx
0
2 )(1 + x 2 ) −n dm.
Ind. Por el TCD, pues: 1 es integrable; 0 ≤ fn ≤ 1, ya que
(1 + x 2 ) n = 1 + nx 2 + (1/2)n(n − 1)x 4 + . . . ≥ 1 + nx 2 ,
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