Ejercicios resueltos

Ejercicio 107 Encontrar en B(R) la descomposición de Jordan para la
carga λ = P − δ {0}, siendo P una probabilidad.
Ejercicio 108 Sea f una función con integral en el espacio de medida
(Ω, A, µ) y consideremos la carga λ = fµ. Demostrar que
λ +
(A) = f + dµ, λ −
(A) = f −
dµ, |λ|(A) = |f| dµ.
A
Ejercicio 109 Demostrar que si una carga λ = µ1 − µ2 es diferencia de
dos medidas µi, entonces λ + ≤ µ1 y λ − ≤ µ2.
Ejercicio 110 Sean µ1 y µ2 medidas positivas y finitas y µ = µ1 − µ2.
Demostrar que si f es µ1 y µ2 integrables entonces es µ integrable y
f dµ = f dµ1 − f dµ2.
Ejercicio 111 Sea λ una carga en un espacio medible (Ω, A), demostrar
que
n
|λ|(A) = sup{ |λ(Ei)| : Ei ∈ A, disjuntos, ∪Ei = A},
i=1
¿Es cierto el resultado si ponemos ∞ i=1 en lugar de sumas finitas?.
Ejercicio 112 Sea (Ω, A) un espacio medible con una medida compleja
demostrar que
λ = λ1 + iλ2 = λ + 1 − λ− 1 + iλ+ 2 − iλ− 2 ,
λ ±
i ≤ |λi| ≤ |λ| ≤ λ + 1 + λ− 1 + λ+ 2 + λ− 2 .
Ejercicio 113 Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida y f una función medible
no negativa. Si definimos la medida λ(A) =
f dµ, demostrar que
A
para cada función medible g
g dλ = fg dµ,
en el sentido de que si una de las integrales existe también la otra y son
iguales.
A
A
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