Ejercicios resueltos

Ejercicio 136 Demostrar que si 0 < r < s < ∞ y f ∈ Lr ∩Ls, entonces
f ∈ Lp, para todo p ∈ [r, s]; que la función
φ(p) = log |f| p dµ,
es convexa en [r, s] y que fp ≤ máx{fr, fs}.
Ejercicio 137 Demostrar que un espacio normado E es completo sii
para cada sucesión xn ∈ E
xn < ∞ ⇒ xn es convergente.
Ejercicio 138 Demostrar la desigualdad de Holder generalizada:
Si 1 ≤ p1, . . . , pn ≤ ∞ son tales que (1/pi) = 1/r ≤ 1 y fi ∈ Lpi ,
entonces
n
n
n
fi ∈ Lr, y fir ≤ fipi .
i=1
Ejercicio 139 Demostrar que si f, g ∈ Lp para 0 < p < 1, entonces
i=1
i=1
f + gp ≤ 2 1
p −1 (fp + gp)
Ejercicio 140 Demostrar que si f ∈ Lp para algún 0 < p < ∞, entonces
fr → f∞, cuando r → ∞.
Ejercicio 141 Demostrar que si µ(Ω) < ∞ y 0 < r < s < ∞, entonces
Ls ⊂ Lr y que para f ∈ Ls
fr ≤ fsµ(Ω) 1 1
r − s .
Ejercicio 142 Demostrar que si µ(Ω) < ∞ y fn, f son medibles, entonces:
(a) Si fn → f c.s., entonces fn → f en medida (es decir que para
todo ɛ > 0, µ{|fn − f| > ɛ} → 0).
(b) Si fn → f en Lp (con 1 ≤ p ≤ ∞), entonces fn → f en medida.
Ejercicio 143 Demostrar la Desigualdad de Jensen, es decir que si
µ(Ω) = 1, f : Ω → (a, b) es medible e integrable y ϕ: (a, b) → R es
convexa, entonces
ϕ
f dµ ≤
ϕ ◦ f dµ.
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