Ejercicios resueltos

Ejercicio 121 Sea f medible compleja integrable respecto de una medida
compleja λ, demostrar que
f dλ
≤
|f| d|λ|.
Ejercicio 122 Sean µ y ν medidas y f µ-integrable y g ν-integrable,
tales que para todo A ∈ A,
fdµ = gdν, entonces para toda h
A A
medible acotada
fhdµ = A A ghdν
Ejercicio 123 Demostrar que si λ1 y λ2 son complejas y λ1 ⊥ λ2, entonces
|λ1 + λ2| = |λ1| + |λ2|.
Ejercicios Tema V
Ejercicio 124 Calcular el área y el volumen de la elipse y elipsoide respectivamente
x 2
y2 x
+ = 1,
a2 b2 2
y2 z2
+ + = 1.
a2 b2 c2 Ejercicio 125 Sea σ : R → R n una curva de clase 1, demostrar que para todo
[a, b] ⊂ R, si σ(t) = (xi(t))
b
γ1H1(σ[a, b]) = σ ′
b
(t) dt = n
x ′ i (t)2 dt.
a
Ejercicio 126 Sea f ∈ C 1 (R 2 ) y consideremos su gráfica F : R 2 → R 3 , F (x, y) =
(x, y, f(x, y)), demostrar que para todo A ∈ B(R 2 ),
γ2H2[F (A)] = 1 + f 2 x + f 2 y dxdy.
A
Ejercicio 127 (1) Demostrar que el área de la esfera de radio r es 4πr 2 .
(2) Demostrar que el área del casquete esférico de radio r y altura h es 2πrh.
Ejercicio 128 Demostrar que para una rotación o una traslación T : R n →
R n , el centro de masas C(B) de un boreliano B satisface C[T (B)] = T [C(B)].
a
i=1
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