Ejercicios resueltos

es un compacto, donde B(z, ɛ) = {z ′ : |z ′ − z| < ɛ} y que
f∞ = sup{|z| : z ∈ K}.
Solución.- Veamos que K c es abierto. Sea z ∈ K c , entonces existe ɛ > 0 tal
que µf [B(z, ɛ)] = 0, pero entonces B(z, ɛ) ⊂ K c , pues la bola es abierta y dado
z ′ ∈ B(z, ɛ), existe un δ > 0, tal que B(z ′ , δ) ⊂ B(z, ɛ), por tanto µf [B(z ′ , δ)] = 0 y
z ′ ∈ K c . Ahora veamos que K es acotado, para ello veamos que si z ∈ K, |z| ≤ f∞
ó equivalentemente que si f∞ < |z|, entonces z /∈ K, lo cual es obvio pues z está en
el abierto B[0, f∞] c y por tanto existe un ɛ > 0 tal que
B(z, ɛ) ⊂ B[0, f∞] c ⇒ µf (B(z, ɛ)) ≤ µf (B[0, f∞] c ) = µ(|f| > f∞) = 0,
(por ser el espacio σ–finito), por tanto z ∈ K c .
Ahora veamos que el supremo es f∞. Para ello hemos visto la desigualdad “≤”,
veamos la otra, para lo cual basta demostrar que para todo ɛ > 0 hay puntos de K
en la rosquilla compacta
C = {z : f∞ − ɛ ≤ |z| ≤ f∞}.
En caso contrario para cada z ∈ C existiría un ɛz > 0, tal que µf (B(z, ɛz)) = 0 y
por compacidad C se rellena con una colección finita de estas bolas y µf (C) = 0, por
tanto
µ{|f| ≥ f∞ − ɛ} = µf {|z| ≥ f∞ − ɛ} = 0
lo cual es absurdo.
Ejercicio 135.- Demostrar que si 0 < r < p < s ≤ ∞, entonces Lr ∩ Ls ⊂ Lp ⊂
Lr + Ls.
Solución.- Sea A = {|f| ≤ 1}, entonces si f ∈ Lr ∩ Ls, y s < ∞
|f| p
dµ =
Ac |f| p
dµ + |f|
A
p dµ
≤
Ac |f| s
dµ + |f|
A
r
dµ ≤ |f| s
dµ + |f| r dµ < ∞,
y si s = ∞, |f| ≤ f∞ c.s. (ver ejercicio (132)) y
Ac |f| p ≤ f p ∞µ(Ac ) < ∞,
pues µ(Ac ) < ∞ por la desigualdad de Tchebycheff. Para la segunda inclusión, f =
IAf + IAc f ∈ Lp, IAf ∈ Ls, IAc f ∈ Lr.
Ejercicio 136.- Demostrar que si 0 < r < s < ∞ y f ∈ Lr ∩ Ls, entonces
f ∈ Lp, para todo p ∈ [r, s]; que la función
φ(p) = log |f| p dµ,
es convexa en [r, s] y que fp ≤ máx{fr, fs}.
Solución.- Sean r ≤ a < b ≤ s y t ∈ [0, 1], entonces basta demostrar que
es decir que, para c = ta + (1 − t)b,
|f| c
dµ ≤
e φ[ta+(1−t)b] ≤ e tφ(a)+(1−t)φ(b) ,
|f| a t
dµ
|f| b 1−t dµ ,
39