´Algebra lineal - Universidad de Buenos Aires

4 Espacios vectoriales
Al igual que en el caso de los grupos, también pueden probarse propiedades que poseen
todos los anillos:
• Sea (A, +, ·) un anillo, y sea 0 el elemento neutro de +. Entonces 0 · a = 0, ∀ a ∈ A.
Se tiene que
Si b es el inverso aditivo de 0 · a, resulta
Luego, 0 · a = 0.
0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a.
0 = 0 · a + b = (0 · a + 0 · a) + b = 0 · a + (0 · a + b) = 0 · a.
En un anillo cualquiera no es cierto que a · b = 0 ⇒ a = 0 o b = 0. Por ejemplo, en Z4, se
tiene que 2 · 2 = 0, pero 2 = 0.
Definición 1.5 Un anillo conmutativo (A, +, ·) se llama un dominio de integridad o dominio
íntegro si a · b = 0 ⇒ a = 0 o b = 0.
Ejemplos.
• (Z, +, ·), (Q, +, ·), (R, +, ·) y (C, +, ·) son dominios de integridad.
• Si A es un dominio de integridad, entonces A[X] es un dominio de integridad.
• Zp es un dominio de integridad ⇐⇒ p es primo.
La siguiente definición resume las propiedades que debe satisfacer uno de los conjuntos
involucrados en la definición de un espacio vectorial.
Definición 1.6 Sea K un conjunto, y sean + y · operaciones de K. Se dice que (K, +, ·) es
un cuerpo si (K, +, ·) es un anillo conmutativo y todo elemento no nulo de K tiene inverso
multiplicativo. Es decir:
i) (K, +) es un grupo abeliano,
ii) (K − {0}, ·) es un grupo abeliano, y
iii) vale la propiedad distributiva de · con respecto a +.
Ejemplos.
• (Q, +, ·), (R, +, ·) y (C, +, ·) son cuerpos
• (Zp, +, ·) es un cuerpo ⇐⇒ p es primo.