´Algebra lineal - Universidad de Buenos Aires

26 Espacios vectoriales
1. {v1, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vn} ⊆ V es l.i. ⇐⇒ {v1, . . . , vj, . . . , vi, . . . , vn} ⊆ V es l.i.
2. {v1, . . . , vi, . . . , vn} ⊆ V es l.i. ⇐⇒ {v1, . . . , λvi, . . . , vn} ⊆ V es l.i. para λ ∈ K − {0}.
3. {v1, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vn} ⊆ V es l.i. ⇐⇒ {v1, . . . , vi + λvj, . . . , vj, . . . , vn} ⊆ V es
l.i. para λ ∈ K.
Demostración.
1. Se deduce del hecho que en un conjunto no interesa el orden de sus elementos.
2. Supongamos que {v1, . . . , vi, . . . , vn} es linealmente independiente.
Sean α1, . . . , αn ∈ K tales que α1v1 + · · · + αi(λvi) + · · · + αnvn = 0. Entonces se tiene
que αj = 0 para cada j = i y que αi.λ = 0. Puesto que λ = 0, resulta que también
αi = 0.
Luego, el conjunto {v1, . . . , λvi, . . . , vn} es linealmente independiente.
Esto prueba la equivalencia, puesto que para demostrar la otra implicación basta multiplicar
el i-ésimo vector del conjunto por 1
λ .
3. Supongamos que {v1, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vn} es linealmente independiente.
Sean α1, . . . , αn ∈ K tales que
0 = α1v1 + · · · + αi(vi + λvj) + · · · + αjvj + · · · + αnvn
= α1v1 + · · · + αivi + · · · + (αiλ + αj)vj + · · · + αnvn.
La independencia lineal de {v1, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vn} implica que
de donde αk = 0 para todo 1 ≤ k ≤ n.
α1 = . . . = αi = . . . = αiλ + αj = . . . = αn = 0,
En consecuencia, el conjunto {v1, . . . , vi + λvj, . . . , vj, . . . , vn} es linealmente independiente.
La otra implicación se deduce de ésta observando que el conjunto {v1, . . . , vn} se obtiene
de {v1, . . . , vi +λvj, . . . , vj, . . . , vn} cambiando el i-ésimo vector vi +λvj por (vi +λvj)+
(−λ)vj = vi.
Como consecuencia de la proposición anterior, para decidir si un subconjunto de vectores
{v1, . . . , vr} de K n es linealmente independiente podemos proceder como sigue:
• Considerar la matriz A cuyas filas son los vectores v1, . . . , vr.
• Triangular la matriz A.