´Algebra lineal - Universidad de Buenos Aires

14 Espacios vectoriales
Análogamente, será más fácil obtener las soluciones de cualquier sistema lineal que se
encuentre en esta forma “triangular”, es decir, de la forma
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn + · · · + a1mxm = 0
a22x2 + · · · + a2nxn + · · · + a2mxm = 0
.
.
annxn + · · · + anmxm = 0
La idea de lo que sigue es ver cómo puede obtenerse, dado un sistema lineal arbitrario, un
sistema de este tipo equivalente al dado.
La siguiente proposición caracteriza ciertas operaciones que producen sistemas equivalentes.
En estas operaciones se basa el método de eliminación de Gauss (o método de triangulación)
que utilizaremos para resolver sistemas lineales.
Proposición 1.19 Dado un sistema lineal homogéneo de ecuaciones, los siguientes cambios
en las ecuaciones dan lugar a sistemas equivalentes:
1. Intercambiar dos ecuaciones de lugar.
2. Multiplicar una ecuación por una constante no nula.
3. Reemplazar una ecuación por ella misma más un múltiplo de otra.
Demostración.
1. Si vemos al conjunto de soluciones del sistema como la intersección de los conjuntos de
soluciones de cada una de las ecuaciones que lo integran, intercambiar dos ecuaciones
corresponde a intercambiar dos conjuntos en la intersección. Como la intersección es
conmutativa, el conjunto que resulta es el mismo.
2. Sea x = (x1, . . . , xm) ∈ Km una solución de
⎧
⎪⎨
a11x1 + a12x2 + · · · + a1mxm
.
= 0
(∗) ai1x1 + ai2x2 + · · · + aimxm = 0
⎪⎩
.
an1x1 + an2x2 + · · · + anmxm = 0
Al multiplicar la i-ésima ecuación por λ ∈ K, λ = 0, resulta el sistema
⎧
⎪⎨
a11x1 + a12x2 + · · · + a1mxm
.
= 0
(∗∗) λai1x1 + λai2x2 + · · · + λaimxm = 0
⎪⎩
.
an1x1 + an2x2 + · · · + anmxm = 0