´Algebra lineal - Universidad de Buenos Aires

16 Espacios vectoriales
Segundo caso: Existe j, 1 ≤ j ≤ n + 1, con a1j = 0. Eventualmente intercambiando las
1
ecuaciones 1 y j, podemos suponer que a11 = 0. Multiplicando la primera ecuación por a11 y
aplicando operaciones de tipo 3. en las otras resulta
⎛
⎜
⎝
1
a12
a11
· · ·
a1m
a11
a21 a22 · · · a2m
.
.
an+1 1 an+1 2 · · · an+1 m
con c ∈ K 1×(m−1) y M ∈ K n×(m−1) .
.
⎞
⎟
⎠
Fi − ai1F1
−→
⎛
⎝
1 c
¯0 M
Entonces, en cualquier caso, aplicando las operaciones descriptas en la Proposición 1.19
al sistema dado, puede obtenerse un sistema cuya matriz asociada es de la forma
⎛ ⎞
a c
A = ⎝ ⎠ con M ∈ K
¯0 M
n×(m−1) y a = 1 ó a = 0.
Sea HM el sistema cuya matriz asociada es M. Por hipótesis inductiva, aplicando operaciones
permitidas puede obtenerse un sistema equivalente a HM cuya matriz M ′ es triangular
superior. Aplicando esas mismas operaciones en la matriz A se obtiene
⎛
a c
B = ⎝
¯0 M ′
⎞
⎠ con a = 1 ó a = 0,
que es triangular superior.
Ejemplo. Resolver el siguiente sistema lineal homogéneo en R 4 :
2x2 − x3 + x4 = 0
3x1 + x2 + 10x3 + 5x4 = 0
x1 + 3x3 + x4 = 0
La matriz asociada al sistema de ecuaciones es
⎛
0
A = ⎝ 3
2
1
−1
10
1
5
⎞
⎠ .
1 0 3 1
El primer paso del método de Gauss consiste en colocar en el lugar A11 un elemento no nulo.
Para eso permutamos las filas 1 y 3 de la matriz (podría usarse también la fila 2). Se obtiene
⎛
⎝
1 0 3 1
3 1 10 5
0 2 −1 1
⎞
⎠ .
⎞
⎠