´Algebra lineal - Universidad de Buenos Aires

18 Espacios vectoriales
Teorema 1.23 Sea H un sistema lineal homogéneo de n ecuaciones con m incógnitas. Supongamos
que n < m. Entonces existe x ∈ K m , x = 0, que es solución del sistema H.
Demostración. Por inducción en la cantidad n de ecuaciones de H.
Si n = 1, m ≥ 2: Entonces H : a11x1 + a12x2 · · · + a1mxm = 0. Si a11 = 0, entonces
, 1, 0, . . . , 0) es solución.
(1, 0, . . . , 0) es solución del sistema y si a11 = 0, entonces ( −a12
a11
Supongamos que el resultado vale para sistemas con n ecuaciones y sea H un sistema de
n + 1 ecuaciones con m incógnitas, n + 1 < m.
Triangulando la matriz del sistema, resulta que es equivalente a una de la forma
donde B ∈ K n×(m−1) , y m − 1 > n.
a11 a12 · · · a1m
0 B
Por lo tanto, el sistema cuya matriz asociada es B está en las condiciones de la hipótesis
inductiva. Luego, existe (x1, . . . , xm−1) = 0 que es solución del sistema asociado a B.
• Si a11 = 0, entonces (1, 0, . . . , 0) es solución del sistema original.
• Si a11 = 0, entonces
− 1
a11 . m
i=2
,
a1ixi−1 , x1, . . . , xm−1
es una solución no nula del
sistema.
El siguiente teorema se refiere a la existencia de soluciones no triviales para sistemas homogéneos
con igual cantidad de ecuaciones que incógnitas. Teniendo en cuenta la observación
hecha la comienzo de esta sección, esto resuelve el problema en el caso general.
Teorema 1.24 Sea H un sistema lineal homogéneo de n ecuaciones y n incógnitas. Sea H ′
un sistema equivalente a H cuya matriz B es triangular superior. Entonces H tiene solución
única si y sólo si Bii = 0 ∀ 1 ≤ i ≤ n.
Demostración.
⎛
B11
⎜
(⇐) Supongamos que B = ⎝ 0
· · ·
. ..
B1n
.
⎞
⎟
⎠ con Bii = 0 ∀ 1 ≤ i ≤ n.
· · · 0 Bnn
Entonces, la última ecuación del sistema H ′ es Bnnxn = 0 y, como Bnn = 0, resulta
que xn = 0. Reemplazando en la ecuación anterior xn por 0, queda Bn−1 n−1xn−1 = 0,
de donde xn−1 = 0.
Siguiendo de este modo, para cada k = n − 2, . . . , 1 de la k-ésima ecuación se obtiene
xk = 0.