´Algebra lineal - Universidad de Buenos Aires
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8 Espacios vectoriales<br />
Definición 1.9 Sea V un K-espacio vectorial. Un subconjunto S ⊆ V no vacío se dice un<br />
subespacio <strong>de</strong> V si la suma y el producto por escalares (<strong>de</strong> V ) son una operación y una acción<br />
en S que lo convierten en un K-espacio vectorial.<br />
Ejemplo. Caractericemos todos los subespacios <strong>de</strong> R 2 :<br />
• S = {(0, 0)} es un subespacio.<br />
• Supongamos que S es un subespacio y que contiene algún elemento v no nulo. Entonces,<br />
para todo λ ∈ R, λ.v ∈ S. Si éstos son todos los elementos <strong>de</strong> S, entonces S es un<br />
subespacio (que, gráficamente, resulta ser una recta que pasa por el origen).<br />
• Con la notación <strong>de</strong>l punto anterior, si S contiene algún elemento que no es <strong>de</strong> la forma<br />
λ.v, digamos v ′ , contiene también a todos los múltiplos <strong>de</strong> v ′ . Luego, S contiene a las<br />
dos rectas L y L ′ que pasan por el origen y cuyas direcciones son v y v ′ respectivamente.<br />
Es claro (usando la regla <strong>de</strong>l paralelogramo) que cualquier punto en R 2 es suma <strong>de</strong> un<br />
elemento <strong>de</strong> L más uno <strong>de</strong> L ′ , luego pertenece a S. En consecuencia, S = R 2 .<br />
Observamos que, dado un K-espacio vectorial V y un subconjunto S <strong>de</strong> V , para <strong>de</strong>terminar<br />
si S es un subespacio <strong>de</strong> V según la Definición 1.9 <strong>de</strong>bemos verificar la vali<strong>de</strong>z <strong>de</strong> una gran<br />
cantidad <strong>de</strong> propieda<strong>de</strong>s (todas las involucradas en la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> espacio vectorial). La<br />
siguiente proposición nos provee una caracterización <strong>de</strong> los subespacios en términos <strong>de</strong> sólo<br />
tres propieda<strong>de</strong>s, a partir <strong>de</strong> las cuales se <strong>de</strong>ducen todas las <strong>de</strong>más.<br />
Proposición 1.10 Sea V un K-espacio vectorial y sea S ⊆ V . Entonces S es un subespacio<br />
<strong>de</strong> V si y sólo si valen las siguientes condiciones:<br />
i) 0 ∈ S<br />
ii) v, w ∈ S =⇒ v + w ∈ S<br />
iii) λ ∈ K, v ∈ S =⇒ λ · v ∈ S<br />
Demostración.<br />
(⇒) Es inmediato verificar que si S es un subespacio <strong>de</strong> V se cumplen i), ii) e iii).<br />
(⇐) La condición i) asegura que S es no vacío.<br />
Por ii), + es una operación <strong>de</strong> S y por iii), · es una acción.<br />
La asociatividad y conmutatividad <strong>de</strong> la suma se <strong>de</strong>ducen <strong>de</strong> la vali<strong>de</strong>z <strong>de</strong> las mismas<br />
para V , el elemento neutro <strong>de</strong> la suma 0 ∈ S por i), y la existencia <strong>de</strong> inverso aditivo se<br />
<strong>de</strong>duce <strong>de</strong> que dado v ∈ S, −v = (−1) · v, que pertenece a S por iii).<br />
Las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la acción en la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> espacio vectorial se <strong>de</strong>ducen también<br />
<strong>de</strong> su vali<strong>de</strong>z en V . <br />
Observamos que la condición i) en la proposición anterior pue<strong>de</strong> ser reemplazada por