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Un elemento h del grupo de transformaciones de Σ g induce un simplectomorfismo h ∗ de J (Σ g ) h ∗ = ( A B C D ) h · Op ( ) ( ) e 2πi(pT x+q T y) = Op e 2πi[(Ap+Bq)T x+(Cp+Dq) T y] . Por Stone-von Neumann, u·θµ Π = (h·u)θµ Π es equivalente a la representación de Schrödinger. Por lo tanto hay un único automorfismo ρ(h) del espacio de funciones theta que satisface la identidad de Egorov exacta h · Op ( e 2πi(pT x+q T y) ) = ρ(h)Op ( e 2πi(pT x+q T y) ) ρ(h) −1 . h → ρ(h) es una representación proyectiva del grupo de transformaciones de Σ g (la acción Hermite-Jacobi). ρ(h): transformada de Fourier discreta.
En resumen, tenemos la siguente situación (A. Weil, Acta Math. 1964): • el espacio de funciones theta, • una representación del grupo de Heisenberg finito en las funciones theta y una acción del grupo de transformaciones de la superficie en el grupo de Heisenberg, • una representación proyectiva del grupo de transformaciones de la superficie en las funciones theta. Las dos representaciones satisfacen la identidad de Egorov exacta.
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