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Si G = SU(2), V = V 2 , la representación de dimensión 2, y M = S 3 (esfera de dimensión 3) entonces ( Z(S 3 , K; V ) = V K e 2πi ) N donde V K es el polinomio de Jones del nudo K. Witten, Atiyah, Segal, K. Walker (1990’s) han desarrollado métodos para calcular estos invariantes: teoría topologica de campos cuánticos. Reshetikhin y Turaev (1991) construieron rigurosamente invariantes de nudos y 3-variedades que satisfacen las propriedades de los invariantes de Witten. Su construcción es basada en grupos cuánticos.
A un grupo de Lie G se le asocia un álgebra (de Hopf) U (G) (grupo cuántico), que es una deformación de su álgebra de Lie G. Ejemplos: 1. Si = N 1 , N un entero positivo, y G = U(1) = {z ∈ C |, |z| = 1} entonces U (U(1)) = C[Z 2N ], el álgebra del grupo Z 2N . 2. Si = N 1 , N un entero positivo par, y {( ) } a b G = SU(2) = | |a| 2 + |b| 2 = 1 −¯b ā entonces U (SU(2)) es un álgebra generada por X, Y, K, K −1 que satisfacen KK −1 = K −1 K = 1, XY − Y X = K2 − K −2 , X N/2 = Y N/2 = 0, K 2N = 1. e 2πi N − e −2πi N KX = e 2πi N XY, KY = e −2πi N Y K,
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